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力學 標題:月球的軌道/皮球的拋體軌跡和人造衛星的軌道
1:黃福坤(研究所)張貼:2004-02-01 15:35:00:
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月球的軌道/皮球的拋體軌跡和人造衛星的軌道

 


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伽利略發現當水平出一體時,物體會以拋物線的軌跡落下。

當初進一步牛頓想著:
在高山上用力水平拋出一球,由於受像地心作用力的影響,物體會逐漸落地。
可是地球是圓的,若是拋出去的球 逐漸增加水平出速度會如何呢?
以上 Java 動畫便會逐漸顯示出 當初浮現在牛頓腦海裡的情景。

 


    若按 + 會時增加拋出的初速度,按 - 則會減少拋出時的初速度。
    按 Start 後 綠色球會以左上角所顯示的 初始速度拋出去。
    (本程式採用 MKS 公制,速度 [公尺/秒] )
    試一試!等球碰到地面停止後,一次次的按 +/- 與 start ,觀察軌跡的變化。
    上方空格會顯示拋出後的時間。隨球移動的紅線代表速度向量。
    按滑鼠右鍵可暫停動畫。
      若此時以滑鼠左鍵按箭頭附近後,拖動滑鼠(仍然按下滑鼠鍵移動),
      可以改變速度的大小與方向。
    再按一次右鍵則繼續。(若改變速度,則以新的速度繼續前進)。
    若是勾選 full 則球即使落地仍會繼續前進,猶如地球縮小且質量完全集中於質心處。
    觀看此時的完整軌跡。

    按 Reset 則清除畫面,並回復初始狀況。
    何時 球開始繞 模擬的地球一周? 何時恰呈圓周運動?

    地球的半徑約 6.4 ×106 m,程式中的假想的高山 高約地球半徑的一半,

      (沒有這麼高的山,將綠色點 看成 是 人造衛星倒是差不多)。
    若在地表附近拋出一球而能呈現 圓周運動速度該是多少呢?
    留給你算一算了喔!(當然假設球形地球並忽略阻力)。

    藉由以上構思,牛頓心想既然物體當水平速度夠大時,能繞地球作週期運動。
    那麼月球 是不是可以想成是 在更高的地方被拋出的月『球』呢。
    這兩種朝向地心的力,是不是應該有相同的來源呢?
    如果球和地球間的作用力 與 月球和地球間的作用力 來源會相同。
    是不是可以推廣成 所有物體間皆存在有 『萬有引力』 呢?

    太空梭或人造衛星 由於受到地球的引力,一直往地面掉落下來,
    但由於同時有切線方向的速度,每次落下的軌跡正好形成 圓形或橢圓軌道。可真是巧妙!


早在1660年,虎克(Hooke)便注意到重力隨著高度而變化,
因此在不同高度的地方測量重力,試圖找出其間的關係,可是並沒有成功。
卻被牛頓藉由以上的思考,加上以下的推論得到 『萬有引力』與距離平方成反比。
由於物體作圓周運動時所需的向心力 a = v2/r。
由月球繞地球周期 27.32 天。月球與地球間相距 3.87×108 m。
可計算出加速度 a = 0.0027 m/s2與 地表重力加速度 9.8 m/s2 相比 = 1 : 3630,
而地球半徑(6.4×106 m) 與 月球地球間距離比值 為 1 : 60 。
這個比值的平方 1: 3600 與上面的 加速度比值 不是很接近嗎?


萬有引力的思維

    任何兩物質間存在有相互吸引的交互作用,稱為萬有引力。
1. 作用力大小與 物質間距離平方成反比。
    你曾經覺得奇怪嗎?為何萬有引力恰好與距離平方成反比!
      可不可能是 r1.9 或 r2.1呢!
    為何 兩靜電荷間的作用力也 恰好與距離平方成反比!怎麼這麼剛好呢?
    記不記得 點波源所對外傳播波的強度與 距離平方成反比!
      如 點光源的照度,聲音的強弱,...是否 想出共同性呢? (空間幾何共通性)
    如果我們生存的空間不是 三度空間而是 二度空間,
    那麼 萬有引力與靜電力 會隨著距離 如何變化呢?例如:

    一長直細導線上均勻分佈電荷,則形成的電場將為圓柱對稱(二度空間)

      結果 電場強度 與 距離成反比。
    一間距遠小於邊長(或無窮大)的平行板,其電場為一度空間
      結果 電場強度 與 距離的零次方成比例。(也就是無關)
    有趣吧!從空間的幾何對稱,就可決定 物理量 隨空間的變化關係。
2. 物質 1 對物質 2 的作用力大小與 物質的 2 的 某物理量成正比。
    此物理量便是物質 2的『重力質量』。
    則由 物質間的作用力是 交互作用,必然存在反作用力。
    此物質 2對物質 1的反作用力 自然也要與 物質 1 的『重力質量』成正比。
    此兩力 大小要相等,因此
      萬有引力與 物質 1, 2 的 重力質量乘積 m1× m2 成正比。
3. 綜合以上兩點 萬有引力 Fg = G m1× m2 / r2

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