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聲/波動 標題:關於有效位數和實驗數據處理的想法
1:朱書寬 (高中職)張貼:2010-12-05 19:33:49:

最近在研究一些有關實驗數據處理的問題,在買了一些書後大都已經獲得解答,然而還有一個最關鍵的問題,而各家的說法也有所出入,那就是有效位數

有效位數的四則運算應該是最基本的吧,「加減運算最末數齊,乘除運算有效位數齊」應該不失為簡便有效的方法

但當我碰到指數、對數、三角函數時,我卻是一頭霧水了

一開始我以為他們的規則應該和乘除運算一樣吧(因為有人是這麼說的),但當我在處理數據時,部分數據會因此而失真而有效位數不有效

我開始翻閱一些書籍並上網查資料,發現大家的說法都不相同

有些說:﹝《大學物理實驗》高等教育出版社 作者:成正維﹞

    對數函數運算結果的有效數字中,小數點後面的位數取成與真數的位數相同

    指數函數運算結果的有效數字中,小數點後的位數取成與指數中小數點後的位數相同

    三角函數結果中有效數字的取法,可採用試探法,即將自變量欠準位上、下波動一個單位,觀察結果在哪一位上波動,結果的欠準位就取在該位上

     有些說:﹝《更高更妙的物理 實驗篇》浙江大學出版社 作者:沈晨 許炎橋 袁張瑾﹞

    對數運算時,答案尾數的位數相同,如 ln25.4=3.235

    三角函數運算時,根據角度的精度是1' , 10" 或 1",決定函數值使用四位表、五位表與六位表取值

    一般情況下,$e^x$的有效位數與x的有效數字位數相同

   有些說:﹝維基百科﹞

    取對數(不管是常用對數還是自然對數),按照有效數字的個數來確定小數點後的位數(位數等於個數)

    取反對數,按照小數點後的位數來確定有效數字的個數(個數等於位數)   ←←反對數應該是說指數吧!

    有些說:﹝某網站 我忘記了﹞

    指數對數三角函數的有效位數使用試探法,將自變量有效位數最末位的數字上下試探一位,並觀察應變量在哪一位上有波動,取其為有效位數最末位

 當我看到這麼多種說法時,我也開始想怎樣才是合理的,以下是我的想法

 

指數:

令$y=e^x$,則$\frac{\bigtriangleup y}{y}= \bigtriangleup x$,若$\bigtriangleup x=0.1$,則應該很容易看出y的有效位數是兩位吧

x以$13.1\pm0.1$做舉例,按計算機的結果是y=488942.4146,$\bigtriangleup y=48894.24146$

因為可疑的我們只留一位,因此$y\pm\bigtriangleup y=(4.9\pm0.5)\times 10^4$

倘若今天$\bigtriangleup x=0.01$

則$y\pm\bigtriangleup y=(4.89\pm0.05)\times 10^4$

結論:指數y的有效位數是x的小數到第幾位加一

 

對數:

令y=lnx  ,則 $\bigtriangleup y= \frac{\bigtriangleup x}{x}$,若x有五位有效位數,則$\bigtriangleup y$的小數點可準確到第四位

x以 $1.0000\times 10^4 \pm1$為例,按計算機可得y=9.210340372,$\bigtriangleup y=0.0001$

因為可疑的位數只取一位,因此$y\pm\bigtriangleup y=9.2103\pm0.0001$

若今天$\bigtriangleup x=10$

則$y\pm\bigtriangleup y=9.210\pm0.001$

結論:對數的小數點後面的位數真數的有效位數減一

 

三角函數:

這個我認為最複雜啦,應該用試探法最保險吧,但cos 和sin 還是有一些規律的

以$y=cosx$為例,x適度度量,則$\bigtriangleup y=sinx \bigtriangleup x$,一般而言$\bigtriangleup x$為$0.1^\circ$

 以下將$\bigtriangleup y$(做運算時已將$\bigtriangleup x$換成徑度量)列表

$x$                                     $\bigtriangleup y$                                     y                                     $y\pm\bigtriangleup y$

$0.0^\circ$                         $0.00\times10^-4$                       $1.000000$                       $1.0000\pm0.0000$            

$10.0^\circ$                       $3.03\times10^-4$                       $0.984807$                       $0.9848\pm0.0003$

$20.0^\circ$                       $5.97\times10^-4$                       $0.939693$                       $0.9397\pm0.0006$

$30.0^\circ$                       $8.73\times10^-4$                       $0.866025$                       $0.8660\pm0.0009$

$40.0^\circ$                       $1.12\times10^-3$                       $0.766044$                       $0.766\pm0.001$

$50.0^\circ$                       $1.34\times10^-3$                       $0.642787$                       $0.643\pm0.001$

$60.0^\circ$                       $1.51\times10^-3$                       $0.500000$                       $0.500\pm0.002$

$70.0^\circ$                       $1.64\times10^-3$                       $0.342020$                       $0.342\pm0.002$

$80.0^\circ$                       $1.72\times10^-3$                        $0.173648$                      $0.174\pm0.002$

$90.0^\circ$                       $1.75\times10^-3$                       $0.000000$                       $0.000\pm0.002$

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