國立台灣師範大學物理系 物理教學示範實驗教室(網站) 物理問題討論區 (黃福坤)
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其他 標題:Shankar心得∼量子力學中的向量空間
1:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2007-11-03 02:38:07:,本留言獲[]給賞金共 1 點

有沒有一種感覺,為什麼量子力學要先學這些?

我以前第一次翻量子力學的書時,就有這種感覺。
這個相關議題也在很多量子力學教科書中被提及。
先學數學形式,會太抽象,沒有物理圖像,
先看物理,又很難正確嚴謹、充足的進入主題。

這個兩難,我的答案是:
Griffiths的量子力學導論。
他剛好介於數學和物理之間,拿捏得剛剛好。
我看過了之後,現在去學Shankar的第一章數學,
已經不那麼感到盲目、沒有感覺了。

關於Hermitian等算子,這些地方,
我覺得Shankar寫得不夠詳細,
有些東西可以自己幫他補上去,
把有疑問的地方也證一證,去補足。
需要的話,可以去參考Griffiths第三章及後面附錄線性代數的部份。

這裡大致上分三個階段:

內積空間中的算子之一般行為。
Hermitian算子。
么正算子。

可以整理一下他們的性質,
我發現性質其實還不少,一開始也不太習慣,
就多算幾次去習慣它吧。
盡量多思考出比較簡潔的運算流程和技巧,
會更易於掌握。

其實我目前也沒有特別的想法,
有心得的朋友分享一下吧。



[ 這篇文章被編輯過: phyc 在 2007-11-03 02:54:08 ]
2:天泣榮譽點數39點(大學理工科系)張貼:2007-12-23 01:00:29: [回應上一篇] ,本留言獲[]給賞金共 2 點
說到向量 就不得不提到線性代數

首先我個人的感覺是線性代數是一套非常漂亮非常美的理論
而且絕對不亞於微積分

不過我只能談談我所知道的觀念 畢竟上過的線代課本也只有前面幾章
目前暫時也沒時間繼續研究

在讀線性代數所帶給我的震撼遠遠大於微積分
簡單的說 因為它非常抽象 也因此非常美 應用範圍廣

我記得線性代數的課本一開始就提到 「向量」這個觀念
課本就直接點明 這裡向量的意義不是以前熟析的向量 有大小 有方向的量

向量被定義作某個集合的元素 
只要那個集合滿足某些規則 那麼該集合就形成一個向量空間
該集合裡頭的元素就是向量

一開始學得時候 還不太能接受 慢慢的 學的章節多了 就愈來愈能理會
數學家這麼完美的創作
像這樣被高度抽象的東西 是可以應用到許多方面的

譬如說
(1) n個有序數對 就是一個向量空間
其實這就是我們一般熟悉的向量了
當n=3時 其實就是三維的空間
其中隨便一點的座標值(x,y,z) 就是一個向量


比較令人驚訝的是 矩陣居然也是向量
(2)所有m乘n階的矩陣所形成的集合行成了一向量空間
    當然此時的矩陣 也就是向量了

(3)
就連函數也是! 也可以被線性代數考慮
譬如說在物數比較容易見到的
將函數展開成富立葉級數或富立葉變換 或者是將函數用Legendre polymomial展開
其實都是一樣的概念
我們可以把函數想成向量 我們展開所需要尋找的係數就是座標
那些我們用來組成函數的式子就是基底

不過最近學電磁學(Griffiths)
這套理論也讓我覺得相當漂亮
因為電磁學很物理 又很數學
(每當寫完一道式子 剩下來都是數學問題了
 但如何能寫下方程式 是比較物理的東西
 不過為了要解決問題 就需要許多數學工具)

我想以後有機會
應該會把整本線代課本都拿來讀完吧!



3:黃福坤(研究所)張貼:2007-12-23 02:02:06: [回應上一篇]
處理物理問題時 通常找出或定義物理量時 第一件事就是確認 該物理量是否為向量(或純量)
若是向量 首先就要找出獨立的座標系統 orthogonal/orthonormal
找出各座標的分量 就可以清楚且分開的描述整個事件
這樣也就可以分開處理問題  (變數間不相依或座標間互不影響)
也類似實驗時 一次改變一個變因的意義!

很多物理問題 當找到適當的座標系後 問題就清楚多了 也簡化多了

兩個粒子在一彈簧兩端運動時,若座標分別是 x1,x2  由於可以個別調整x1,x2 的位置
看起來很複雜, 可是若另外定義 xc=(x1+x2)/2,   xd=(x1-x2)/2;
則 xc 與 xd 變成兩個互相獨立的座標 此時處理問題就方便多了 x1= xc+xd; x2= xc- xd; 
再與矩陣diagona 找出 eigendunction/ eigenvalue作法的意義相連接! surprise

數學變成描述物理之美的最佳代言人(語言)!




4:Hydrogen Dioxide(研究所)張貼:2008-01-03 13:24:49: [回應上一篇]
Quote:
在 2007-12-23 02:02:06, 黃福坤 寫了:  再與矩陣diagona 找出 eigendunction/ eigenvalue作法的意義相連接! surprise 數學變成描述物理之美的最佳代言人(語言)!

it should be written : eigenfunction Not eigendunction OH..

Quote:
在 2007-12-23 01:00:29, 天泣 寫了:    比較令人驚訝的是 矩陣居然也是向量 (2)所有m乘n階的矩陣所形成的集合行成了一向量空間     當然此時的矩陣 也就是向量了 (3) 就連函數也是! 也可以被線性代數考慮譬如說在物數比較容易見到的將函數展開成富立葉級數或富立葉變換 或者是將函數用Legendre polymomial展開其實都是一樣的概念我們可以把函數想成向量 我們展開所需要尋找的係數就是座標 那些我們用來組成函數的式子就是基底  

it may be written the word as Legendre polynomial  not  Legendre polymomial :)

YES, as the same as people, I agree with {比較令人驚訝的是 矩陣居然也是向量 (2)所有m乘n階的矩陣所形成的集合行成了一向量空間     當然此時的矩陣 也就是向量了}

FOR INSTANCE, in SM, when we handle magnetics problems of parttition functions like Z=tr e -βH

We often need to transform this to  a matrix which is contained eigenvalues λ  in it

it says   det |    |

                        =    | e -βH1                   e -βH2|

                              |   e -βH3                  e -βH4        |        ,and to use Λ=S-1TS

i=1,2,3,4, .....for some certain numbers is due to  the actual cases of σ of external magnetic fields .

Using such transformations  is convenient solving the physics problems~

These are like solving the QM's Schrodinger equation => HΦ=EΦ.

When it comes , one must write matrice to slove problems, the same using eigenvalues or eigenspinors eigenvectors (α, β)

[ 這篇文章被編輯過: Hydrogen Dioxide 在 2008-01-03 13:27:31 ]

[ 這篇文章被編輯過: Hydrogen Dioxide 在 2008-01-03 13:30:13 ]
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