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力學 標題:陀螺運動淺析---質點的圓周運動+簡諧運動
1:鲨鱼榮譽點數9點(大學(院))張貼:2007-10-20 16:12:12:,本留言獲[]給賞金共 2 點

我的論述從這個圖開始

陀螺已經明顯失去了平衡,卻沒有倒下來,而是在水平面内進動

我試圖追查這個司空見慣的現象的根源,它爲什麽要這樣運動

單看陀螺轉子,陀螺不倒等效與轉子不出現以水平直徑為軸的翻轉

重力矩明顯要以水平直徑為軸翻轉轉子,但是在陀螺規則進動時轉子沒有被翻轉

我認爲,只要講明在力矩作用下,自轉的轉子爲什麽不屈服與力矩出現水平翻轉,就算說清楚了脫落爲什麽不倒

爲此,我選取上圖任意時刻,建立了自由圓盤模型

設定圓盤自傳較爲速度ω,在圖示力偶作用下繞12-6軸水平進動,進動角速度為Ω 單獨考察(圖示t=0時位于12點處質點)在運動過程中垂直于盤面方向的速率變化,發現其規律為 v(t)=ΩRsin(ωt)

由於此原判始終在規則進動(如圖是情形),因此任意設定時閒t=0,都會有一個支點為于12點處,速率變化均為 v(t)=ΩRsin(ωt)

即:以R為半徑的圓環上,任何一個質點在隨圓盤作圓周運動的同時,其垂直于盤面方向的速率都在以正弦形式變化

先抛開參照系,考察v(t)=ΩRsin(ωt) 這是一個質點在以標準的正弦形式運動,他不會無緣無故做如此變速運動,必然有相應的加速度

下面分兩种情況

1、此質點如此運動,必然存在相應的加速度,根據上圖分析(速度放行始終垂直于圓盤,規律明顯),在此規律下,存在的加速度為 a(t)=-2ΩωRcos(ωt) (这就是“科氏加速度”求證過程比較繁瑣,但沒問題,此處從略)

2、如果要他這樣運動,就必須提供加速度a(t)=+2ΩωRcos(ωt) 这是我要追查的,下一步就是要找这个加速度,一步步追查下去,必然能追到根源

 

繼續追查

在圖示力偶的作用下,實際上在圓盤邊緣,已經存在縣加速度 a(θ)=αRcos(θ) 證明過程如下: 圓盤受力偶矩M作用,根據剛體轉動基本定律 角加速度=力矩/轉動慣量 α=M/I α……圓盤繞3-9軸角加速度

M……圖示兩F組成的力偶矩 I……圓盤對3-9軸的轉動慣量 圓盤獲得繞3-9軸的角加速度α 圓盤邊緣應當有綫加速度a(θ)=αRcos(θ)如下圖

因圓盤在以角速度ω自轉,所以上式中的θ=ωt,所以質點自轉一周,垂直于盤面方向的加速度變化為 a(t)=αRcos(ωt)=[M/I]Rcos(ωt) 這就是我們正在尋找的a(t)=+2ΩωRcos(ωt) (如下圖藍綫所示)

從代表以R為半徑的圓環上的一個質點的分析,通過加速度與速度,在力偶矩與自轉圓盤的運動之間建立起了直接聯係 前面一直從現象出發,倒追原因,一步步追到了引發此現象的“力矩” 現在按正確順序敍述一遍 如圖所示力偶M作用于自轉ω圓盤=〉 導致以R為半徑的圓環上出現垂直于盤面方向的餘弦形式的綫加速度=〉 該加速度導致圓環上任意一個質點出現垂直于盤面方向的速度以正弦形式變化=〉

所以在M作用下自轉圓盤沒有繞3-9軸翻轉,卻出現的是繞12-6軸的水平翻轉 這就是陀螺“不倒並進動”的原因 回到此圖,在重力矩作用下,直觀上轉子本應繙下來(轉子平面向下翻轉),通過以上分析可知,當轉子自轉(需達到一定值)時,卻不會向下翻轉,而是要產生勻速水平翻轉。然而,受到支架制約,只好自己水平公轉

以上為陀螺運動的定性分析,粗淺原始,有請各位審查,謝謝

 

一年多以前,本論壇loge先生曾與我進行過長時間討論,如今loge從軍歸來,感謝他還記挂此事,並表示接受以上分析。如無不妥,下面將進行適度定量分析



[ 這篇文章被編輯過: 鲨鱼 在 2007-10-20 21:08:27 ]