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力學 標題:陀螺爲什麽不倒?
1:鲨鱼榮譽點數9點張貼:2005-11-30 00:56:48:

(我來自大陸,所用文字為簡體,不知朋友們能否看到)

陀螺一端悬空,却不掉下来,对此现象,经典理论的解释都引用的角动量(动量矩)守琚A或哥氏惯性力及陀螺力矩等,这些解释有一个共同的特点,那就是物理现象必须遵循数学中的矢量叉积规律。

矢量叉积(螺旋定则)是人们从实践中(陀螺现象等)提炼抽象而来,这或许有自身印证之嫌,也就是用现象来解释现象。

因为陀螺不倒=〉矢量叉积遵循右手螺旋定则(角动量变化方向垂直于重力方向)=〉所以陀螺不倒

我问一位专业研究陀螺的朋友“动量矩变化方向为什么与力(重力)的方向垂直?”
他告诉我“因为陀螺就是这个样子。”

满足于以上解释的朋友不必向下看了

本文试图从f=ma直接入手,解决陀螺问题

因为陀螺受重力下倒=〉旋转盘要翻转=〉其上质点受迫振动=〉受迫振动规律阻止旋转盘翻转=〉所以陀螺不倒

一、先从匀质薄圆盘开始
将陀螺转子简化为薄圆盘,它受到力偶的作用,将会沿水平直径翻转,上下沿将向箭头所指方向运动

二、加速度的分布
圆盘以水平直径(图中黄线)翻转的转动惯量=I,假定所受到的力偶为Q,那么根据刚体转动定律,其翻转的角加速度=Q/I,上下沿处质点(12、6)的线加速度分别为A=-A=QR/I,圆周上的加速度分布a=Asin(ωt)

三、质点受力情况

现在考虑圆盘自转,也就是陀螺稳定运行时的情况

在圆盘边缘选一质点m,随圆盘自转,自转角速度为ω,m旋转一周在垂直于圆盘方向的加速度a=Asin(ωt)刚好完成一个周期。根据力与运动的关系f=ma=mAsin(ωt)。mA为12点处质点所受的力=F,那么质点m旋转一周,所受垂直于圆盘的力f=Fsin(ωt),这是一个遵循正弦变化的周期力。……(还用上面的图)
 
四、单摆
现在去掉其他因素,只考虑m在垂直于盘面方向所受的力f=Fsin(ωt),与我们所熟知的单摆比较。


单摆的回复力是重力的分力f=Gsin(ωt),同样遵循正弦规律。单摆的运动规律为:回复力最大时(摆锤至最高点)其运动速度为0(瞬间静止),然后在回复力作用下速度逐渐增加,至回复力为0时(摆至最低点),其运动速度最大,这是我们所熟知的客观事实。
 
陀螺上质点的受力与单摆唯一的区别就在于它是受迫振动,符合“受迫单摆运动规律”,其运动方式与普通单摆一致。
考虑到陀螺边缘质点m的受力规律与摆锤相同,其运动规律也应与摆锤一致,即:受力最大时(12、6)两位置,其空间位置不变(在垂直于盘面方向瞬间静止速度为0),因此圆盘12、6的连线始终保持原位,也就是说圆盘不会出现以水平直径为轴的翻转。

正如单摆的摆锤从最高点在回复力作用下逐渐加速一样,m转过12点位置也在f=Fsin(ωt)的作用下逐渐加速,至9点位置速度最大,f=0;过9点后,由于f反向并逐渐增加,m将减速,至6点时速度再次为0。因此质点m受f=Fsin(ωt)作用,其速度分布如下图

质点m作圆周运动(沿兰盘的边缘),红色和绿色部分代表质点m在每一位置所具有的垂直于圆盘的运动速度。红色和绿色部分是与兰盘垂直的,因此红色部分(圆盘左半部)朝向我们运动,另一侧反之
 
(图不能上传……待续)