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力學 標題:滑冰自轉∼不符合能量守衡?
1:Frank_Chung (大學)張貼:2004-11-03 01:40:39:

滑冰者將手往內一縮,速度就變快了,這是因為角動量守恆的原因,

但若以能量的觀點來看的話,位能不變,速度卻增加了,為什麼呢?


2:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2004-11-03 17:53:15: [回應上一篇]

Quote:

但若以能量的觀點來看的話,位能不變,速度卻增加了,為什麼呢?


假設他從起點1轉到終點2(假設 不是在原地自轉 而是邊轉邊平移 我們就此找出起點與終點 來討論)

這段不是保守場 不能定義轉動的位能( 當然他若在水平面上轉 重力位能不變 )

其實如果單看自轉 也不能定義出轉動的位能

假設只有自轉 把她的臉朝向我的地方當作1開始轉到1以外的地方(譬如 2) 從1到2 她的手逐漸往內縮 而且沒有外力施加在她身上

假設很小的轉動動能的變化等於零(dK=0)

                      dK=1/2* d(Iω2)=0

                     ∫dK-1/2∫d(Iω2)=0    K和Iω2都從1積分到2

                  =>K2-K1-1/2* Δ(Iω2)=C

                  =>ΔK=C+1/2* Δ(Iω2)

                                 L=mω     =>     L/m=ω

                                 I=k*m     Iω2=(k/m)* L2

                                                =>  Δ(Iω2)=(Δk/m)* Δ2L

        (手全開 的轉動慣量 跟變化過程~手全部往內縮 人的形狀改變 所以出現Δk)

因為 角動量守恆 所以Δ2L=0 即Δ(Iω2)=0

因此 微分方程ΔK=C+1/2* Δ(Iω2) =>ΔK=C (通解)

也就是 在1開始改變轉動半徑到2的時候 整個人的動能變化是常數

 

原本上面的推導 得ΔK=C   取無窮小變化得dK=c

原本的假設為 dK=0 因此c=0 (特解)

能量守恆為dE=dK+dU 這裡的dU=0 所以dE=dK=0 => $\int{_1^2}dE=0

即 E2-E1=0 => ΔE=0 ∴能量守恆  如果扣除掉 鞋子和地面之間的熱損耗 能量一定守恆

如果以上有錯誤請給予指正

 

其實你的問題 用L=mvR來看就可以了 上面是對轉動動能的部分作討論(用數學工具推)

當角動量守恆的時候

L=mvR => v=L/(mR) => v和ΔR成反比  即 Δv和ΔR亦成反比

因此當ΔR<0 時 Δv>0

所以速度變快了

[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2004-11-03 19:35:06 ]

[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2004-11-03 21:25:18 ]
3:joooe榮譽點數2點 (大學理工科系)張貼:2004-11-03 22:25:54: [回應上一篇]

動能會增加吧,我猜,動能增加的來源大概是手往內縮時給的吧…

動量守恆,不代表動能就不會變,例如未爆彈突然爆炸,整顆砲彈動量守恆,砲彈中的化學能卻釋放出來變成動能…(而角動量守恆其實是和動量守恆等價的)

狄卡爾網友您的答案老實說我完全看不懂,可否解釋一下呢?
4:王慈甦榮譽點數9點 (研究所)張貼:2004-11-03 23:32:04: [回應上一篇]

正如你所說的角動量守恆,角動量=Iw,I為物體對於轉軸的轉動慣量,w則為角速度。當你手往內縮的時後,由於轉動慣量變小了,所以w就要.......

那為何動能會變大呢?因為你把身體往內縮的時後,你已經在對自己作功嘍!

內力也是能對系統作功的喔!

 

[addsig]
5:Frank_Chung (大學)張貼:2004-11-04 09:40:17: [回應上一篇]

原來是自己手已做了功∼懂了!

但是狄卡爾寫的還是看不太懂,可否再說明一下!


6:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2004-11-05 15:27:45: [回應上一篇]

換個角度想像 如果外界觀察者把轉動者的手 用雷射光砍掉 轉動者的角速度仍將增加(因為R減少 由L=IvR =>L守恆, R減少 , v將增加) 但是此時內力卻沒有作功 也沒外力作功

內力作功不違反物理定律 譬如車輛即是利用真實氣體的壓容功 $(P+\frac{an^2}{V^2})*(V-nb)=nRT在汽缸內推動活塞進而帶動輪軸轉動 這是典型的內力作功 (假設車輛汽缸內的壓力不很大 可不用維里方程即能很好描述 內力作功的情況)

a,b是氣體常數

[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2004-11-05 15:40:29 ]

[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2004-11-05 15:58:45 ]
7:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2004-11-05 16:10:48: [回應上一篇]

假設只有自轉 把她的臉朝向我的地方當作1開始轉到1以外的地方(譬如 2) 從1到2 她的手逐漸往內縮 而且沒有外力施加在她身上

假設很小的轉動動能的變化等於零(dK=0)

                      dK=1/2* d(Iω2)=0

                     ∫dK-1/2∫d(Iω2)=0    K和Iω2都從1積分到2

                  =>K2-K1-1/2* Δ(Iω2)=C

                  =>ΔK=C+1/2* Δ(Iω2)

                                 L=Iω      =>     L/I=ω

                                 I=k*m    =>      L/I=ω  =>    k'*(L/m)=ω

                            Iω2=L2/(k*m)     =>    Δ(Iω2)=ΔL2*(1/m)*(Δk')

        (手全開 的轉動慣量 跟變化過程~手全部往內縮 人的形狀改變 所以出現Δk或者其倒數Δk')

因為 角動量守恆 所以ΔL2=0 即Δ(Iω2)=0*(1/m)*(Δk)=0

因此 微分方程ΔK=C+1/2* Δ(Iω2) =>ΔK=C (通解)

也就是 在1開始改變轉動半徑到2的時候 整個人的動能變化是常數

 

原本上面的推導 得ΔK=C   取無窮小變化得dK=c

原本的假設為 dK=0 因此c=0 (特解)

能量守恆為dE=dK+dU 這裡的dU=0 所以dE=dK=0 => $\int{_1^2}dE=0

即 E2-E1=0 => ΔE=0 ∴能量守恆 (∴以上全部都是 動能守恆)

轉動者手往內縮 此力的方向與轉動的切線方向垂直 因此手往內縮並沒有對轉動動能有貢獻 (對整體的轉動 沒有作功)



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2004-11-05 16:16:50 ]
8:王慈甦榮譽點數9點 (研究所)張貼:2004-11-05 18:36:56: [回應上一篇]

狄卡爾網友,如果依你所說動能守恆,那麼以上現像便會同時滿足二個守恆原理嘍!

我想說的是..這會發生個問題:

動能守恆:1/2(I1)(W1^2)=1/2(I2)(W2^2)

角動量守恆:(I1)(W1)=(I2)(W2)

如果此時我把上述二式相除===>你會見到個有趣的現像:(W1)=(W2)

  即代表人是絕對不可能在那過程中改變轉動慣量嘍,與事實不符何對吧^^///!

  另外除非物體是在固定半徑的圓周作運動,則向心力垂直物體運動方向==>沒有作功!

  《但》,如果是在力的作用過程中,其物體運動狀態有與作用力同向的速度或位移,那麼就會有作功的情形發生嘍!再想想當你把作圓周運動中的物體往內拉的時後,除了仍有切線方向不變的速度外,另外不也多了個指向圓心的速度嗎^^,而且物體也想當然爾有個往圓心的有效位移嘍,既然有指向圓心的力也有指向圓心的有效位移,二者作內積不就是作了功嗎^^!

[addsig]
9:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2004-11-05 20:38:56: [回應上一篇]

ω12   => V1R1=V2R2  =>  V1/V2=R2/R1 

V2是轉到2地方時的切線速度(V2>V1)

原因是R2<R1的關係

妳說的是將體內化學能轉成肌肉往內縮的動能 將半徑縮小

內力作功並不違反物理定律

精確的講 並不違反熱力學第一定律

系統的 dU=dq+dw

                       (為了符號撰寫的方便 假設上面右式的d均可以代表恰當微分)

轉動者的內能不變(即使 體內化學能轉成肌肉往內縮的動能)

轉動過程絕熱 因此dU=dw=0        (這裡的U是內能)

將dw=0積分可得∫dw=0 =>w=常數=ΔK

因為以上都不討論移動能 所以總動能變化量ΔK就是轉動能的變化量 此量為零  因此系統內力作功為零

 

總動能=移動動能+轉動動能

 

書本上有兩題 出現動能不守恆的情形

我之前假設的是很小的動能變化dK=0 (手逐漸往內縮) 意思就不是這兩題所要討論的物理現象

兩題例題 分別是小盤和大盤結合 因為摩擦力導致的動能損耗

                 以及   轉動者把張開時手上拿的重物逐漸放在腿上 導致動能增加

這兩者可以看成 外力矩讓系統的角速度改變(一個是摩擦力 一個是重力的貢獻)



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2004-11-05 22:24:50 ]
10:王慈甦榮譽點數9點 (研究所)張貼:2004-11-05 23:37:16: [回應上一篇]

我覺得你好像有點..只重複在打著課本上的內容耶^^///!

不彷試著用自己的方法..再想想..該怎麼樣說明可以讓一般高二的學生領會到其中物理的樂趣,因為大部份生活中的物理應該還沒要用到超出高中數學的語言來解釋!感覺啦^^///!

[addsig]
11:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2004-11-06 12:31:49: [回應上一篇]

其實 我昨晚一直想 轉動的問題

上次讀轉動的時候 是大一下 離現在算蠻久了

有些 我覺得想提出來討論一下( 或者針對之前我的論述 做些修正 希望能繼續做成討論 我對轉動的問題蠻有興趣的)

我認為 角動量L對角速度ω的積分 是角動能的數值

   ∫Ldω=∫Iωdω=K

     令dv=ωdω  =>  ∫dv=∫ωdω  =>  v=ω2/2

     令u=I

    ∴K=∫Iωdω=uv-∫vdu=(Iω2/2)-(1/2)*∫ω2dI

    當轉動慣量I 在轉動途中維持定量(即 I不為ω的函數)

    那麼dI=0 , 上式為 K=Iω2/2

    當 I為ω的函數時 由L=Iω  =>  I=L/ω    (∵角動量守恆 ∴作積分的時候L可提出積分號之外)

    K=(Iω2/2)-(1/2)*∫ω2dI

       =(Iω2/2)-(L/2)*∫(ω-1)-2-1

       =(Iω2/2)+(Lω/2)=(Iω2/2) +Iω2/2

       =Iω2

K=Iω2表示 當轉動的物體 其轉動慣量隨著角速度而變化時的動能大小

如果取無窮小的動能變化 可得dK=d(Iω2)=d(Iω*ω)=d(L*ω)=Ldω+ωdL=Ldω

對兩邊從1積分到2 可得K2-K1=L*Δω

如果 ω12 則上式為 ΔK=0 但L=Iω 由於角動量守恆 所以轉動慣量維持不變(此與假設前提 : I為ω的函數 相互矛盾 故ω12不成立)

因此 當改變了轉動半徑時 轉動慣量隨即改變 改變的原因可以視為 : I為ω的函數之故 但應該不是由L=IvR來判斷 因為此式不是向量式)

我覺得有一個地方 好像大家都想錯了 包括我之前引用別人的那句話L=IvR(我在打這方程式打算作v與R成反比的論述 是先搜尋 參考了這裡以前的討論)

角動量是向量 應該寫作 $\vec{L}=I\vec{v} \times \vec{R}

這樣就不是乘法了 因此不能直接拿來作v與R成反比的論述 因為違反數學上的意義(其實 也是物理上的意義 向量的外積...)

我上面的論述 有幾項重點 :

1. 當轉動慣量I 在轉動途中維持定量(即 I不為ω的函數) , 則 K=Iω2/2 這是一般轉動能的通式 暗示了角動能(轉動動能)與角動量一起守恆(兩者可為聯立方程組)

2. 當改變了轉動半徑時(其實說 改變轉動時的形狀比較好) 轉動慣量隨即改變 改變的原因可以視為 : I為ω的函數之故 但應該不是由L=IvR來判斷 因為此式不是向量式)

     轉動慣量改變時 角動能不為一般式K=Iω2/2 而是K=Iω2 暗示了角動能不守恆 但角動量仍守恆



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2004-11-06 15:03:27 ]
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