標準偏差

出自DemolabWiKi

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標準偏差所代表的意義與運用:

通常當 測量次數多n\rightarrow\infty 時,測量數據(誤差)的隨機分佈 滿足常態分佈 (Normal distribution) 也稱為 高斯分布(Gaussian distribution):

P\equiv \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\bar{x})^2}{2\sigma^2}} P 是測量值 為 x 的機率(次數少時為二項式分佈)。

如下圖為平均值為 50, 標準差為 10. 的常態分佈,

normalPlot.jpg

顯示測量值出現在

  1. \bar{X}-\sigma \ge X \ge \bar{X}+\sigma的機率是 68.3% (2:1)
  2. \bar{X}-2\sigma \ge X \ge \bar{X}+2\sigma的機率是 95.4% (20:1)
  3. \bar{X}-3\sigma \ge X \ge \bar{X}+3\sigma的機率是 99.7% (350:1)
  4. \bar{X}-4\sigma \ge X \ge \bar{X}+4\sigma的機率是 99.994% (15000:1)

以上的數據 可以提供怎樣的運用呢?

當從事多次測量時,有時候會某些數據與平均值相差的較多, 若懷疑是因為測量時不小心 觀測錯誤或 ... ,怎樣判斷該不該捨去那些數據呢?

例如:測量某物體長度100次,計算出 平均值與標準差(非 平均值的標準差)後, 發現 有 3 組數據 落在 3 倍標準差外,4 組 落在 2倍與3倍之間, 其餘皆在 平均值與 標準差之間。

若採用常態分佈, 由於數據 落在 2倍標準內的機率有 4.6%。 因此可推測那四組數據是合理的機率很高。

但是數據落在 3倍標準差外的機率應小於千分之三。 因此 應該重新檢討那三組數據,(除非肯定數據沒問題)通常可以捨去 將那三組數據捨去後,重新計算 平均值 與 標準差 。再檢視都沒有問題後, 並計算平均值的標準差後,寫出 測量結果。

上一單元:平均值的精密度, 下一單元:誤差傳遞