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熱學/流體 標題:液體的側、下壓力
1:littlecan榮譽點數1點 (高中職)張貼:2004-07-27 19:03:42:
我們說在液體中的一點所受的壓力來源,是來自上面液體的重量,這是可以接受的常理。但是液體為什麼會有側壓力或下壓力呢?原因是因為分子間的撞擊力造成的嗎?

我發現很多老師都會迴避這個問題,甚至有些會說:就是一個現象而已阿。天啊!這是什麼爛理由阿!


2:牛角尖榮譽點數68點 (大學理工科系)張貼:2004-07-28 20:31:59: [回應上一篇]
如果是分子間的撞擊力 那麼用高.低溫的兩杯水來作比較 ,
高溫的水分子間的撞擊力強 次數也較多 這樣推論出杯底壓力較大 ,
如此杯底要提供較大的反作用力 也就是說要稱重的話 高溫的杯中水會比較重 (???) ,
這樣子合理嗎?

因此與其說是撞擊力 不如說是推擠力 就像是疊彈珠一般(也因此推論液體分子間距 不會很大),
如果在一個完全平滑的地面 又沒有側面牆壁來支撐 可以疊彈珠成金字塔嗎?
........終究要散落一地吧?

由於推擠力 是分子間接觸的正向力(設分子無摩擦) ,而正向力垂直接觸面 卻並不一定和重力平行,
因此推擠力在和重力垂直的方向上 總會有側向分力 .

2004--牛角尖
3:xfile榮譽點數4點 (大學)張貼:2004-07-31 13:59:07: [回應上一篇]

因為液體是流體,不是固體!...有上壓力就有下壓力,我們常常說人家常常犯錯不是會說有一就有二嗎?所以可想而知有上就有下,你有看過一棟樓房只有樓上而沒有樓下的嗎?!!這也就是牛頓常常說的第三運動定律...那現在要講重點了,那就是常常讓很多人百思不得其解的"側壓力",測壓力可依位置分成前側後側左側以及右側四個位置,莫名其妙多出這四的力的原因就是 ... 液體是流體! 開各玩笑,^^不過這真的是主因,你有看過氣體運動論的分子模型嗎,氣體跟液體都是流體,分子再空間中作四面八方的來回撞擊,撞擊產生的壓力也是平均分佈在四面八方的(建構在統計以及機率的模型上),這樣子說瞭了嗎?
4:城市隱者榮譽點數8點 (大學理工科系)張貼:2005-04-14 08:53:12: [回應上一篇] ,本留言獲[]給賞金共 1 點
但水的壓力下面最大,在太空中,氣體仍有壓力(穿孔會噴),液體則沒有(球狀浮空),故我認為液體壓力主要和重力有關,大家以為然否?
5:林耀堂張貼:2005-04-15 20:10:40: [回應第1篇]

我覺得牛角尖ㄉ想法比較對耶.......如果照xfile來說的話........那就像牛角尖說的

變成溫度高~撞擊力大ㄌ~所以我比較認同牛角尖的想法~因該是推擠力而非撞擊力


6:黃福坤 (研究所)張貼:2005-04-20 08:39:45: [回應上一篇]

壓力的定義是單位面積所受的力 因此談壓力前先要確定所談受力的面積為何?
也因此某處的壓力 所謂的[某處]不會是數學上的一個點 而是一個很小體積的表面
至於怎樣算很小 對於液體的壓力而言 比日常生活尺度小千萬倍以下都可說很小
但是這些小體積 對於水分子而言卻是非常大的體積
例如取液體中 長寬高均為10-7m 的一個小體積 (每一邊幾乎是可見光波長那麼小)
可是該體積內至少還有102*102*102=106個水分子
對於該正立方體的六個表面隨時都有水分子進出與碰撞
取其中一個面 該面上水分子碰撞動量變化的力 除以面積便是壓力的大小
當水是靜止的情況下 表示該體積上下/前後/左右各方向所受合力需為零
也就是左壓力與右壓力需抵銷 否則該體積會移動(液體會流動直到達成平衡)
因此液體中任一點(其實是任一個小體積) 各方向壓力都一樣
(其實在重力場方向會有些微差距 只是當體積很小高度差很小時可忽略高次項效應)

溫度增高確實會增加壓力 只是壓力和絕對溫度相關 而不是室溫
因為通常液體並非封閉系統 而其巨觀表現是 溫度升高時 液體的密度會改變且液面高度也會改變

另外一般所談液體的壓力P=ρg d,其中d為從液面算起的深度,
其實是指 液體內某深度和液面的壓力差.實際該處的絕對壓力應該要加上液面所受的大氣壓力

液體內壓力差從微觀而言 其實是因為水分子受到重力因此向下時會加速 速度會增加

水分子向上運動時速度會減少 而分子間又很緊密 隨時碰撞

於是造成巨觀上壓力隨深度累積效應愈來愈大的結果



在無重力場的區域 若是系統並非封閉(液體被緊密封在容器內)
 液壓(差)是不存在的


7:黃福坤 (研究所)張貼:2005-04-22 10:00:31: [回應上一篇]

以下動畫 嘗試以氣體分子模型
說明 側壓力 (液體和氣體都是流體但是液體密度大 因為重力於不同高度產生的壓力差比較明顯)
動畫開始時 重力場設為零 因此包圍氣體四邊壁的壓力約略相同(單位時間碰撞次數)
你可以試試看當重力場增加到最大時 會發現下方的粒子平均速度會比較大
(因為重力而向下加速) 也因此單位時間碰撞次數也就增加
於是造成上下不同高度 會有不同的壓力
對於氣體因為密度變化比較大 壓力差會呈現 指數形式變化
但是對於液體而言 因為幾乎密度都一樣(分子間相互吸引)
因此壓力差和到液面的深度成正比

你可以用上方兩個拉桿 改變容器形狀



若無法瀏覽動畫請點選使用問題

8:黃福坤 (研究所)張貼:2005-04-22 10:05:34: [回應上一篇]
對於數學有興趣的網友可以想一想 動畫中 程式如何檢查粒子是否碰到側邊的氣壁
假設粒子座標是 (x1,y1) 半徑是R, 側邊直線方程式是 ax+by+c=0
想一想和高中所學過數學的相關性


9:牛角尖榮譽點數68點 (大學理工科系)張貼:2005-05-02 13:58:42: [回應第6篇]

首先這題材是液體靜力學的典型題目,再者基於 對液體表面張力現象的解釋,
阿牛不認為液體分子間的聚合力 能允許液體分子間作完全彈性碰撞,
徐氏編譯出版的 費因曼物理學 第一部1-2 有提到這種黏性 並附有放大十億倍的水結構.

以下資料分別取自 科學出版社-物理百科全書(原出版商 McGraw-Hill 1983年5版 ) ,
以及 中國大百科-化學-水 , 如果這些資料都是正確無誤 ,
我們甚至不宜使用氣體分子動力論 來解釋花粉的布朗運動.


10:黃福坤 (研究所)張貼:2005-05-07 17:15:42: [回應上一篇]
之前的動畫主要是想說明側壓力的來源 因此事先說明使用氣體分子模型
假設分子間沒有作用力 僅碰撞時會完全彈性碰撞

以下動畫 則從另一個方式來模擬 比較接近液體的狀態
假設所有粒子間當距離小於數倍半徑時便有一假想彈簧連接彼此
彼此間作用力完全以彈簧作用力模擬
但是仍然假設粒子與旁邊氣壁以完全彈性方式碰撞(不考慮附著力等)
若無法瀏覽動畫請點選使用問題
 

11:Hydrogen Dioxide(大學理工科系)張貼:2005-10-29 20:50:17: [回應第1篇]
Quote:
在 2004-07-27 19:03:42, littlecan 寫了: 我們說在液體中的一點所受的壓力來源,是來自上面液體的重量,這是可以接受的常理。但是液體為什麼會有側壓力或下壓力呢?原因是因為分子間的撞擊力造成的嗎?


流體於靜態的時候 小體積元dV所受的合力Σf=A*ΣP=0因此有各方向而來的壓力

而流動的時候dV=A*dx)移動

 

[ 這篇文章被編輯過: Hydrogen Dioxide 在 2005-10-29 20:56:28 ]

[ 這篇文章被編輯過: Hydrogen Dioxide 在 2007-06-22 16:03:33 ]
12:Becca (高中)張貼:2008-08-27 22:52:39: [回應第6篇]

水分子因為受到重力因此向下時會加速 速度會增加

水分子向上運動時速度會減少 而分子間又很緊密 隨時碰撞

於是造成巨觀上壓力隨深度累積效應愈來愈大的結

我覺得好難想像喔!

我認為這可以解釋為何容器的形狀不會去影響同一高度的液壓

但因為上述的情形我很難想像, 所以不是很肯定這個推論

有時麼方法可以幫助我理解嗎?

 


13:黃福坤(研究所)張貼:2008-08-28 01:10:08: [回應上一篇]
以上的動畫已經用實際具體的圖像 而不需要憑空想像
動畫中讓你看到粒子之間的碰撞 愈接近底部碰撞頻率愈高
且粒子間向下的加速來自重力
若還是無法讓你理解 只好另請高明了!

14:shaofu(研究所)張貼:2009-01-07 11:55:00: [回應上一篇]
看第二個動畫,會覺得愈底部的液體密度愈大。
但我印象中,水的密度只受溫度影響,並不受壓力的影響。

是不是我誤解了動畫的意思?
或者,分子碰撞力並非水壓的主要成因?

請老師指教。


15:黃福坤(研究所)張貼:2009-01-09 00:50:16: [回應上一篇]
空氣和水都是流體 空氣比較容易看出 密度受高度的影響
相同高度差 水相對改變很少
但是若相差數千公尺不同層的海水 密度真的相同嗎?


16:shaofu(研究所)張貼:2009-01-09 10:36:01: [回應上一篇]
我不確定深海裡的水是否密度會比海面的高一些,但這裡討論的是水壓。

水下一公尺的水壓,跟水下十公尺的水壓,就有明顯的差別。依照老師所提供的分子碰撞的模型來推想:水分子受重力影響,故向下運動稍快於向上運動,但水平方向的運動應不受影響,唯有分子較密集、碰撞頻率較高,才有可能造成深處的水壓增加。水下一公尺與水下十公尺的壓力,計入大氣壓力後,約相差一倍,則水分子的密度也得要相差一倍,才能提供那麼密集的碰撞。

如果水面的水密度是1g/cm3,水面下十公尺的水密度會是2g/cm3嗎?如果照這樣推想,水面下100公尺,水的密度即可達10g/cm3。一般鐵製品的密度約7.8g/cm3,如果深處的水密度較大,則鋼鐵製造的船,沉沒後將不會沉到海底,而是漂浮在水面下大約80公尺的地方,潛水艇可能也無法潛到40公尺以下。

以上這一段「思想實驗」不知道是否有誤?

經過這麼一想,我更加覺得,上頭那個"水分子碰撞的模型"好像不太可能是水壓的來源(除非我還是誤解了那個模型的意思)。

還請老師指教!

17:黃福坤(研究所)張貼:2009-01-09 12:30:39: [回應上一篇]
Quote:
水分子受重力影響,故向下運動稍快於向上運動,但水平方向的運動應不受影響


其實以上模擬就是試圖顯示 垂直方向速度的變化 也會影響水平方向的速度
主要是因為
1. 粒子數多
2. 隨機碰撞
因此會達成新的平衡
其實也是為何達到平衡時 每一點各方向壓力都相同的意義

壓力要增加可以是密度增加 也可以是動量變化的改變
氣體中 密度增加的比重較大 速度(溫度)也隨之有所改變
可參考熱力學課本:氣體 壓力與密度 或溫度隨高度變化的關係

而液體中 由於不易壓縮 因此密度改變不大 (但是深度夠深時 還是有變化:視精密度需求而決定可察覺的深度變化量)
所以在深水中 是有可能夠小的氣泡 不往上飄浮!(表面壓力差效應大於體積重力效應時)



18:shaofu(研究所)張貼:2009-01-09 14:08:58: [回應上一篇]

Quote:


主要是因為
1. 粒子數多
2. 隨機碰撞
......
壓力要增加可以是密度增加 也可以是動量變化的改變
......
而液體中 由於不易壓縮 因此密度改變不大......





老師的意思是不是:
液體不易壓縮,粒子數無法增加,因此,壓力增加主要來自動量變化加大?


但動量變化的增加來自分子動能的增加,而分子動能增加往往伴隨者溫度升高,不知道這樣的連結對否?

如果照我的理解去推論,會得出:位於深處的水溫度較高!
果真如此,那深海的生物肯定要能耐受高溫,但這又與我所知道的相矛盾。


19:黃福坤(研究所)張貼:2009-01-09 18:37:42: [回應上一篇]
我之前已經提出 對於氣體 確實會有溫度隨高度變化
但是對於液體並沒有如此顯著的現象.
所謂動量變化加大( 而不是動量加大)
是指 分子往下運動時 會因為重力而加速 但是往上時 則因為重力而減速
因此正如推導液體壓力隨深度變化一般
取一個體積時上下表面積的壓力差 洽等於其體積內重量

氣體分子之間的交互作用 幾乎只有在碰撞時發生
可是液體分子會同時和所有鄰近分子都有交互作用
因此很容易達成新的熱平衡分布 而不會產生上下明顯溫差

但是任何時刻或任何一小體積 往下都會比往上增加壓力
而這些增加的壓力 會透過碰撞快速傳遞(類似帕斯卡原理)
(另外想一想 分子往下時 的平均碰撞時間 與往上時的平均碰撞時間 是否相同呢?)

若真的深海某處因為某原因 溫度增加 該區域水流會透過對流方式很快又達到新的平衡

所謂溫度已經非針對某一個分子 而是一個體積區域內的粒子才有的概念


P.S. 深海的生物若體積封閉 需要耐高壓 若體積沒有封閉則無需耐高壓(但非耐高溫) 其實冷血動物 也很容易和環境達成動態平衡





20:TERRY111榮譽點數13點(大學(院))張貼:2009-07-06 20:13:50: [回應上一篇]

黃老師 所提供的動畫開不起來?

是 已經移除了連接,還是我的電腦有問題,可以開的起來嗎 ?

 


21:黃福坤(研究所)張貼:2009-07-06 23:37:02: [回應上一篇]
上方的動畫測試都正常 請點選左上角 使用問題 的聯結
閱覽處理方法並正確安裝java

22:demo榮譽點數25點 (高中)張貼:2009-07-08 17:07:08: [回應上一篇]

液體內壓力差從微觀而言 其實是因為水分子受到重力因此向下時會加速 速度會增加
水分子向上運動時速度會減少 而分子間又很緊密 隨時碰撞
於是造成巨觀上壓力隨深度累積效應愈來愈大的結果
在無重力場的區域 若是系統並非封閉(液體被緊密封在容器內)
 液壓(差)是不存在的

是否在無重力的區域下 雖然液體是沒有液壓差 但會否有對容器壁造成壓力呢??

因為我看過別人說在無重力狀態下 液體不存在壓力說法~

問題一:若我放一塊正方體的物體在水中 他懸浮着

宏觀是它所受的浮力是水的上下壓力差

那微觀呢 教授解釋在不放物體時液體下方的壓力會>上方的壓力

是因為重力的影響 使水分子向下的速度增加 撞擊力也因此增加 而向上的水分子速度會減慢 撞擊力也減少

再看回水中的物體 他受到的是上方水分子因重力而增加了對他的撞擊力(速度增加) 其方向向下

而下方的水分子會向上去撞擊他 但那些水分子會因為向上運動而撞擊力減少(速度減少)

下方水分子就算撞擊力減少了 但其力度還是比上方水分子增加了撞擊力後還大(因為物體還在懸浮)

但是為什麼下方的水分子會有較大的撞擊力(速度較大) 就算是逆地心(重力)方向運動也是如此?

還是我那媟Q錯了~~"

另外 還想到一個問題  也是滿奇怪的=___=" 雖然要看完真的有點難道 因為很長......"

若我在一盤水中放一個物體(裝水的容器當是圓形好了) 該物體是漂浮的(因為比較想像^^)

例如我把物體放到盤子左邊偏向盤壁 但沒有碰到盤壁喔!

把左邊的水和右邊的水分開成兩部份看 那右邊的水分子會多些 而左邊會少些

那這時物體受到的左右側壓力不能互相抵消 所以物體會向左邊移動

直到物體碰到盤壁後 就不能再向左移動 於是靜止了 這時他左右兩邊受到水對他的壓力會平衡嗎?

那我若是使物體放在水面上後不運動 是否就是放在水的中心(這堿偉磥)

才能使各方面的壓力互相抵消逹致平衡呢?

那所謂的中心 從微觀來看 應該沒有某一時間 各區域的水分子數目都相同(也會有 但機率應該會很少)

那是否浮在水面上的物體 都會移動呢??

以上都是我思想上的假設和想像 有矛盾請指出 謝謝^^


23:黃福坤(研究所)張貼:2009-07-08 17:37:12: [回應上一篇]
對於國中生而言能夠思考這樣的問題已經很不容易

在無重力狀態下 液體本身會因為彼此間吸引力而聚集成球體
若容器體積大於液體 則彼此間沒有接觸狀況下還會有所謂的壓力嗎?
但是若容器體積略小於液體 則會有很大的壓力存在

請估算一下液體中一立方公分約有多少水分子
另外從水溫估計每一個水分子速度多少?
之後就可估計水分子平均碰撞之間 所走的距離
(若此距離遠小於巨觀的尺度:接近原子尺度的數量級 而原子數目又如此多
還會出現巨觀物體左邊與右邊壓力不同的狀況嗎?)

另外也可估計一下液體中一個小點(例如1mm邊長的立方體內有多少水分子)
水分子之間會相互碰撞 而達到平衡 也就是所謂液體中某一點(其實是一個小體積)其四周各表面的壓力均相同 才能達到靜態平衡


24:demo榮譽點數25點 (高中)張貼:2009-07-08 21:49:59: [回應上一篇]

其實我也已經不是國中了 畢業了>v< ya!

其實一直搞不懂的 估計應該不是只憑直覺來看 因為有點不符合科學的原則~

那科學的估計能力是要如何培分出來的?? 才能有可靠的數值^^?

雖然我知道温度微觀上是看分子的動能 但如何取得可靠的數值呢 這我就不知道了

還是要搜習一些資料呢?可是我不知道要搜習什麼資料才能較準確的估計出水分子速度~~"

請教授可以指引一下我^^


25:demo榮譽點數25點(國中)張貼:2009-08-29 22:00:05: [回應上一篇]

第二個問題 我沒有想到水分子是向各方向運動的 且可能不到下一秒 他的運動方向又會改變~

不過我不明白 為什麼通常浮在水面的東西 都會漸漸的靠近杯壁??是因為杯壁提供多一個引力給他嗎??

第一個問題:的疑問 明天再問!


26:黃福坤(研究所)張貼:2009-08-29 23:58:48: [回應上一篇]
如果水面沒有裝滿容器 水的邊緣會因為表面張力而抬高
此時浮在水面的物體會靠近邊緣
可是若水面裝滿 讓容器中間水比邊緣高 此時浮在水面的物體會集中於中間
其實相同的回應 已經回覆好幾次!



27:demo榮譽點數25點(國中)張貼:2009-09-01 17:02:57: [回應上一篇]

如果水面沒有裝滿容器 水的邊緣會因為表面張力而抬高
此時浮在水面的物體會靠近邊緣
可是若水面裝滿 讓容器中間水比邊緣高 此時浮在水面的物體會集中於中間
其實相同的回應 已經回覆好幾次!

教授 為什麼浮在水面的物體會向高處走呢??

[addsig]

液體內壓力差從微觀而言 其實是因為水分子受到重力因此向下時會加速 速度會增加
水分子向上運動時速度會減少 而分子間又很緊密 隨時碰撞
於是造成巨觀上壓力隨深度累積效應愈來愈大的結果

分子間又很緊密 隨時碰撞  水分子受到重力向下加速時 碰撞到其他水分子 不就會把力傳開去 逹到平衡嗎??那為什麼還會積累使壓力差的出現?? 水分子隨時隨地到會和其他水分子碰撞呀! 改變其他水分子的方向 還有把温度(動能) 還有把其他能量傳開去呀!!!但為何這到不能使他上下都沒有壓力的差異??

 


28:黃福坤(研究所)張貼:2009-09-02 10:00:39: [回應上一篇]
1. 因為表面張力的關係是表面張力將其拉往中間或兩邊(物體兩邊表面張力的差異)
2.  水分子本身占據一定的體積 也保持一定的平均距離 例如 空氣高空處就比較稀薄
這就是達到新的平衡的界線 但是即使達到新平衡 分子間還是有高度差 重力無時不在 分子持續快速碰撞 (想一想分子的速度約多少 分子平均距離約多少 請估計後再深入討論 )
這些等學到高中物理氣體動力論後可估計 夠過量化的分析會更容易體會



29:demo榮譽點數25點(國中)張貼:2009-09-03 20:15:55: [回應上一篇]

1即是浮在水面上的物體都會向表面張力強的一方移去?

另外 表面張力會使到水的密度增加嗎??

2好!我會估計(計算)好才回的~


30:黃福坤(研究所)張貼:2009-09-03 22:46:56: [回應上一篇]
物體兩邊表面張力不同 則物體所受到表面張力的合力就不會是零 因此會讓物體移動(回歸物體運動的本質-牛頓運動定律)
了解一下表面張力的大小然後再想一想 那樣大小的力是否可能影響水的密度
學習物理 固然思考很多可能性很重要 可是要能進一步量化估計 而不是任意讓思緒到處漂流 這樣反而會浪費時間與精力


31:demo榮譽點數25點(國中)張貼:2009-09-05 19:37:26: [回應上一篇]

對不起喔!因為我對物理的知識並不多~只知道普通力學的簡單概念(牛頓定律也只學了第一定律) 所以很多的公式和基礎我也不知道 就連表面張力我也是從網上得知的~並沒有很多的了解

我還是有空看看觀念物理好了(有空才算 現在還有很多化學問題積聚....)哈...我就是不專注的人  連想東西時也可以想了別的事 回神很就忘記之前在想什麼=^=(有方法可以使集中力高些呢??)


32:黃福坤(研究所)張貼:2009-09-05 22:38:15: [回應上一篇]
對於一般學生 我會建議先熟悉課本的內容 然後有能力時 找相關單元 深入探討
這樣有基本的知識作為基礎 應該會更有效率

當然有時知道太多現有知識 也可能因此被原有學說 框著 而缺少新觀點
如何取捨 就要看個人修為!


33:shaofu(研究所)張貼:2009-09-05 22:49:47: [回應上一篇]
 
34:demo榮譽點數25點 (高中)張貼:2009-09-06 13:48:25: [回應上一篇]

嗯!其實我就是不想被公式之類的固有知識困著~也許現在也是了.....

所以才不會認真的去看公式 計算之類的東西 不過現在也在改進中...因為知道沒有數學 化學會是不完整的 還有許多事物(分子層或微觀方面)也需要用來估計~之前的我 把微觀狀態想得太簡單了.....

有次我去問老師 氯化鈉在水中電離時和熔融狀態時 拆成Na+和Cl-所需的能量是否相同? 後來老師答我 Na--Cl鍵的能量是固定的 當然要把它拆開所用的能需是相同的!!因為我之前在想 要把鹽熔化需是加熱(熔點為801度)  而把鹽放在水中就不需要加熱就能破壞晶體的結構 覺得好奇怪!!

後來回到家 拿起計算機來  在25度時 100g水溶解36g氯化鈉

則水有100/18=5.56mol的水分子 而氯化鈉只有36/58.5=0.62mol 而就算氯化鈉在水中析出兩種離子 也只是把0.62*2=1.24mol 水分子還是它們的4.5倍左右!(那時才知道它們的數量相差那麼遠)  室温的能量+4.5個水分子氫鍵的能量 也可能是很強大的(ps:查不到氫鍵的能量和氯-鈉的鍵能)!!

所以有些事情 不計算或估計真的可能不行!


35:陳 同學 (高中職)張貼:2013-03-21 20:31:06: [回應第17篇]
請問老師,一體積在水中所受的側壓力應該分別與所受的上壓力和所受的下壓力不同吧?
36:黃福坤(研究所)張貼:2013-03-25 20:20:46: [回應上一篇]
首先要確定一下 所謂的一體積 該體積有多大?長寬高各約是多少?
所謂的側壓力 是否在不同深度的測壓力也不同?



37:陳 同學 (高中職)張貼:2013-04-07 17:03:57: [回應上一篇]

體積任意,當此體積在水中達靜力平衡時,
如果側壓力僅有分子運動造成的力,那一定小於或等於重力造成的上下壓力吧。


[ 這篇文章被編輯過: 陳 同學 在 2013-04-07 17:07:11 ]
38:黃福坤(研究所)張貼:2013-04-09 14:42:02: [回應上一篇]
當談到側壓力時 是否針對一個很小的面積
其上下的重力差是否可忽略 ?
\想一想 你這個面積的高度有多少? 重力差會是多少?




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