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力學 標題:單擺運動
1:黃福坤 (研究所)張貼:2004-02-01 16:05:00:
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單擺運動

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如何玩呢?

    1. 按住單擺頂端小紅圈然後拖動滑鼠, 可以改變單擺長度與位置

    2. 在視窗內其他區域拖動滑鼠可以更改單擺的起始位置(角度), 單擺會跟著滑鼠跑

      1. 作上面動作時單擺的長度與起始角度會顯示在上方格子內

      2. 當你放開滑鼠後單擺會開始運動

      3. 勾選 顯示力圖 後, 單擺下端會出現更多物理量

        1. 藍色箭頭顯示單擺所受萬有引力,

        2. 綠色箭頭分別代表萬有引力分量

        3. 紅色箭頭代表擺槌切線速度 (和萬有引力的切線分量互相比較)

      4. 單擺下方附近藍色以及紅色的小點分別代表單擺的位能與動能,
        久之會形成 兩條曲線 嘗試找出兩者的關係
      5. 每一次初始條件會在起始位置垂線上形成一新的黑點 ,
        表示單擺的周期(左邊座標軸)

        移動滑鼠到該點位置時, 上方方塊內將顯示該點所對應的

          單擺水平位移, 半週期數值 以及起始角度
      分別在不同起始位置運動, 上述黑點會形成 單擺週期對起始角度 變化的數據圖形
    3. 視窗右上方的紅色箭頭代表重力場強度, 可以按住箭頭頂端後, 拖動滑鼠來改變重力大小

    4. 視窗右下方的黑色垂線代表擺槌質量, 可以按住垂線底端後, 拖動滑鼠來改變大小

      注意:週期會不會改變呢?
    本動畫可以做很多種類的變化 試試看吧! 希望你會喜歡它!

    平常教科書中都只提到單擺做小角度時, 會是簡諧運動, 周期只和擺長及重力場強度有關.
      本程式讓你也可觀察大角度改變時, 角度對周期的影響.
    程式上所顯示的周期並非利用公式計算出來, 而是利用 F = m a 計算單擺不同時刻位置,
      當單擺每次轉向時, 計算時間差 * 2

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2:黃福坤 (研究所)張貼:2004-02-01 16:06:00: [回應上一篇]
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簡易單擺


這是個讓你練習的簡易單擺動畫。
你可以按下滑鼠右鍵暫停動畫。
若在單擺尾端按下後拖動滑鼠可以改變單擺長度與啟使角度。
程式會顯示相關參數。


若無法瀏覽動畫請點選使用問題

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3:PoWa (高中職)張貼:2010-12-01 18:59:00: [回應上一篇]

想向黃老師請教一個問題

同一個單擺於不同高度放下...都會在相同的時間後靜止

這是由於什麼原因??

從能量觀點看看來不可能 但考慮到這是現實情怳下做的實驗能量會損耗

因此本人認為可能是由於位移增加 令摩擦力作的負功數值較大 從而令它們於相同時間停止

想請問這個思考方向是否正確.??

另一方面...提出問題的老師提示我這是由於線帶來的錯覺...但本人不太能理解其含意

希望老師能指點指點



[ 這篇文章被編輯過: PoWa 在 2010-12-01 19:03:09 ]
4:黃福坤(研究所)張貼:2010-12-01 21:01:00: [回應上一篇]
Quote:
同一個單擺於不同高度放下...都會在相同的時間後靜止


 若整個單擺 平移 放在不同高度 會有差嗎???
我猜想你指的應該是不同擺角 只是以上敘述 是你做實驗後的結果嗎???


5:PoWa (高中職)張貼:2010-12-02 12:22:02: [回應上一篇]

Quote:
在 2010-12-01 21:01:00, 黃福坤 寫了:
Quote:
同一個單擺於不同高度放下...都會在相同的時間後靜止

 若整個單擺 平移 放在不同高度 會有差嗎??? 我猜想你指的應該是不同擺角 只是以上敘述 是你做實驗後的結果嗎???

對對...抱歉表達能力不佳

以上敍述是老師提出的問題 本人也嘗試做實驗 但會有數秒誤差

因此本人利用了網上軟件作實驗工具 明確知道上述結果是正確的

(附上軟件網站:http://phet.colorado.edu/en/simulation/pendulum-lab)

[ 這篇文章被編輯過: PoWa 在 2010-12-02 12:22:49 ]

[ 這篇文章被編輯過: PoWa 在 2010-12-02 12:23:11 ]
6:黃福坤(研究所)張貼:2010-12-02 14:00:35: [回應上一篇]

 是否你指的是 擺動的周期 ?而不是單擺停止不擺動所需的時間!

單擺的週期 隨與擺角的變化 很小,除非角度很大 否則周期近似相同
請參考 以上單擺運動 模擬 ,其週期會隨擺角增加而些微增加 但是增加量不多(相對比例很小)
擺角大 時 於最低點的擺動速度也較大
因此可達到近似相等的功效 所以用來做計時工具

單擺其重力的分量 $mg \sin\theta$ 形成的力矩 讓單擺擺速改變
擺長 $\ell$時 其轉動慣量 $I=m\ell^2$, 力矩 $\vec{\tau}=-\ell mg \sin\theta$
故 $I\alpha= m\ell^2 \frac{d^2\theta}{dt}=-\ell mg \sin\theta$
故 得到 $\frac{d^\theta}{dt}=\frac{g}{\ell} \sin\theta$
當擺角夠小時 $\sin\theta$可以用 $\theta$近似
則可得到
$\frac{d^\theta}{dt}=\frac{g}{\ell} \theta$
以上恰好是簡諧運動 固定周期的解
故 單擺擺角夠小時 其周期幾乎相同 這是數學上的解法
但是擺角增加時 周期會些微增加
這部分歡迎參考
常見問題整理:單擺實驗的擺角一定要小於5度才可以嗎?
7:PoWa (高中職)張貼:2010-12-03 01:19:17: [回應上一篇]

抱歉令黃老師誤會

我重新講述我如果利用該軟件進行實驗

首先本人把軟件中的重力加速度(g)改為0

然後把一個單擺設於60度的擺角

然後再把另一個單擺設於30度擺角

設定摩擦力為最大

把重力加速度更改為地球表面數值

兩個單擺會開始運動...過程中由於摩擦力會不斷損耗能量最後靜止

根據U=mgh....(由於高度差距少...因而假設重力加速度不變) 位於60度擺角的單擺照理應有多於 30度擺角的 的勢能

因此推斷60度單擺應該擺動較長時間

但從上述實驗可發現兩個單擺幾乎是同一時間靜止的

想請問為何兩個單擺的能量不同但郤同時停下

考慮 F=-bv..由於60度擺角的會有較高的速度...因此其所受的空氣摩擦力也較大 令它的能量消耗較高 所以它們不論擺角大小都會於同一時間後靜止

請問黃老師這個思考方向是否正確??


8:黃福坤(研究所)張貼:2010-12-03 08:24:04: [回應上一篇]

 單擺原本的運動方程式
$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{\ell}{g}sin\theta$
加上阻尼後變成 $\frac{d^2\theta}{dt^2}+b\frac{d\theta}{dt}=-\frac{\ell}{g}sin\theta$
對於小角度 可以近似為$\frac{d^2\theta}{dt^2}+b\frac{d\theta}{dt}+\frac{\ell}{g}\theta\approx 0$
以上恰好是 RLC 震盪的相同方程式,
若你熟悉其數學解
可知其震盪或衰減周期僅和$L,C$有關
與初始值無關(初始值僅和一開始暫態有關)
對應因此 單擺$b,g,\ell$ 有關
因為近似的影響 角度會有些微影響 但是比重不大
所以會於幾乎相近時間停下(誤差範圍內)
但是若阻尼並非和 角速度一次方成比例 結果可能會稍有不同

9:PoWa (高中職)張貼:2010-12-03 09:49:48: [回應上一篇]

非常感謝黃老師的解答 令本人對震盪運動有新的認識 現在對現象成因有一定概念了

但本人的高中課程才剛開始 現在進度還在力學的簡諧運動 對電路名詞有點陌生

請問  (LC)^-1 = l/g? (其中L為電感,C為電容,l為單擺擺長,g為重力加速度)



[ 這篇文章被編輯過: PoWa 在 2010-12-03 09:51:50 ]
10:黃福坤(研究所)張貼:2010-12-03 10:12:37: [回應上一篇]
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RLC 的方程式是
$L\frac{d^2Q}{dt^2}+R\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{C}=0$
和以上方程式對應 你應該就知道 如何找出震盪頻率的對應關係

以下單擺組的模擬供你參考 請點選眼睛圖案
若無法瀏覽動畫請點選使用問題

以上動畫原始英文網頁
可模擬以下兩種狀況
1. $\frac{d^2\theta}{dt}=-\frac{\ell}{g}\sin\theta-b\frac{d\theta}{dt}$
2. $\frac{d^2\theta}{dt}=-\frac{\ell}{g}\theta-b\frac{d\theta}{dt}$
勾選 plot 會出現 隨時間變化關係圖

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