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力學 標題:跑回來的乒乓球
1:黃福坤(研究所)張貼:2004-02-01 15:37:00:
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跑回來的乒乓球

若無法瀏覽動畫請點選使用問題

 



    你曾經將 乒乓球放在桌上,用手指用力往後按 ,結果
      乒乓球 先向前方跑去,可是不久卻又 滾回來了!為什麼呢?

    當你用力按 乒乓球 時,使得乒乓球 的初速度 Vo 向前,
      但同時也讓 乒乓球 向後方以 w 轉動。

    乒乓球 於是 又滾(向後)又滑(向前)的運動。

    由於 與桌面的摩擦力(與速度方向相反),於是
      乒乓球受到與 速度方向相反的加速度。

    但是 乒乓球 所受到的 摩擦力 所造成的力矩 也會改變 乒乓球的轉速 w。

    若 乒乓球 的半徑是 r ,則當

      轉速 V = r w 時,乒乓球與 桌面的相對速度為零(純滾動)。

      此時不再有摩擦力作用在 乒乓球上,於時乒乓球維持

      (等速度 與等角速度 的 純滾動 )

    如何讓乒乓球往前跑至某定點後 停下來呢?(速度與角速度 恰為零)

    如何讓乒乓球純滾動時,方向仍然是向前的呢?

    如何藉由改變參數: 摩擦係數,初速度,初角速度 來達到不同的末狀態呢?

    以下 Java 動畫 讓你 『玩一玩』 並 找出或推理出 這些關係!









    本動畫中已經 固定 初速度 V= 200. cm/s.

      (為了方便觀察角速度的變化, 將球放大,速度減小)

    你可以改變 球最初的轉動角速率

    (負值 代表逆時針旋轉,正值代表順時針旋轉)
      已經換算成 r*w 供你選擇。

    開始 啟動動畫(球開始接觸桌面)。 重置 重新開始。

    按滑鼠右鍵將暫停動畫,再按一次則繼續!

    球下方 藍色箭頭 代表摩擦力。

    清除 則會清除下方 速度(縱軸)對時間(橫軸)的關係圖。

      紅色曲線 為球的質心速度。

      綠色曲線則為球的角速率ω與半徑 r 的相乘積 r*ω。

      若球會往回頭走,什麼時候球開始往回頭走呢?

      對應於圖上的什麼地方呢?

      當紅色點與綠色點 相碰後,發生了什麼事呢?為什麼會那樣呢?

      (人眼睛的感覺 : 紅色光 + 綠色光 = 黃色光 ,不會吧,扯到那兒去了)


    觀察改變不同的 初角速率,對球的運動有何種影響。

    當摩擦力消失時(球與桌面接觸點的相對速度=0. 即
    純滾動時),

      對應於 下方關係圖的 那一段曲線(什麼顏色)呢

    你也可以改變摩擦係數,觀察對 運動的影響又如何?

    球 最後靜止時,r*ω 為何? 與 摩擦係數有沒有關係呢?

      此時 Vo/rω 的比值 為何? 與 球的 轉動慣量 有無關連呢?

    (實心球體的轉動慣量 為 (2/5) m r2
    , 空球殼的轉動慣量 為 (2/3) m r2)

     



如何計算呢?(高中生挑戰題,大學生理工科基本題)
    類似題目曾出現在 高中生自然科學競賽物理科的理論考題。


    1. 球對桌面的摩擦力為何?

    2. 摩擦力對球造成的加速度為何? 球速度該如何改變呢?

    3. 摩擦力對球造成的角加速度為何?球角速度該如何改變呢?

    4. 球與地面接觸點的相對速度為何?

    (當相對速度為零時,摩擦力消失,成純滾動)。

    以上 四個提示 是否足夠讓你 列出關係式了呢?

    我解過了,換人做做看該你解一解了吧!

    只有認真的解過,對你的學習才有幫助。不要偷懶喔!



註冊且登入者,可下載動畫相關檔案(以電子郵件傳送)離線使用! 點我看本動畫的相關圖片
2:rtptoy(大學理工科系)張貼:2010-07-15 17:29:26: [回應上一篇]

我想請教一下到了最後的純滾動,也就是球體的底部對地面的相對運動=0

這個時候是沒有摩擦力,所以球體會永遠的滾下去?

因為這聽起來還蠻神奇的所以想問一下

 


3:黃福坤(研究所)張貼:2010-07-16 00:01:12: [回應上一篇]
因為沒有能量損耗 故此理想狀況 可持續轉動
好比 沒有外力的理想狀況下 物體恆以等速直線運動 不是嗎?

地球也自轉了好久 你是否也覺得很神奇呢?

4:rtptoy(大學理工科系)張貼:2010-07-16 09:46:12: [回應上一篇]

地面上的靜摩擦力和前進方向應該是同向吧?

那為什麼靜摩擦力沒有給乒乓球的底部一個阻止轉動方向的力矩,使得球最後停止轉動?

因為我自己思考的想法是球在最後做等速運動,如果扣除空氣阻力的話球應該會受到摩擦力的力矩使得球停止轉動

這個想法是不是哪裡有問題?


5:力學電磁學都很糟榮譽點數35點 (高中職)張貼:2010-07-16 12:14:09: [回應上一篇]

你的問題並不存在,因為:

1.若是理想的剛體圓球,打從球開始等角速滾動前進時(不驅使轉動之後、且非滑動時),就不再有摩擦力了。轉動、前進皆持續。

(想像放在桌面上的橡皮擦,沒有推它,也就不會有摩擦力)

(我想老師可能是想強調持續前進與轉動,但第一句可能有誤)

另外,

2.若是在驅動加速的過程中,驅動力矩在接觸點造成的力 尚未超過 最大靜摩擦力,則驅動多少力就得到多少力。

3.若是在驅動加速的過程中,驅動力矩在接觸點造成的力 大於 最大靜摩擦力,則打滑。

4.打滑不代表會原地打轉,因為當時的動摩擦力不為零。

5.若不是剛體,失去驅動的力矩後,由於變形損耗能量,轉速則會漸慢,實際受力應該很複雜。

 

若有錯誤觀念請糾正我,謝謝。

 

我覺得這種問題要把 驅動或非驅動、打滑或非打滑、剛體或非剛體 幾個狀況分得很清楚,否則一時都會被搞混。

[ 這篇文章被編輯過: 力學電磁學都很糟 在 2010-07-16 12:58:03 ]

[ 這篇文章被編輯過: 力學電磁學都很糟 在 2010-07-16 13:03:32 ]
6:黃福坤(研究所)張貼:2010-07-16 13:28:27: [回應上一篇]
純滾動且等速度運動時 確實應該沒有摩擦力!


7:rtptoy(大學理工科系)張貼:2010-07-16 19:26:35: [回應上一篇]
的確很容易搞混 不過我已經弄懂了 謝謝兩位的說明
8:rtptoy(大學理工科系)張貼:2010-10-05 11:21:01: [回應上一篇]

我列出了兩個式子來解決這個問題,但是在對照下載動畫的初始數值發現有些不同希望教授可以幫忙解答

(實心球 Vx=100 Wo=60 mu=0.6 R=5) 

因為純滾動時與地接觸點P的對地速度永遠為0

所以只要球與地接觸點P繞質心的切線速度與質心對地的平移速度等大反向時球會從滑動變滾動

V=Vx-(fk/m)*t (質心平移的速度關係式)

-V=wo*R-{(fk*R^2)/Icom}*t (與地面接觸點P繞質心的切線速度關係式)

上述兩式解聯立方程,可以算出t的大小就等於變成純滾動所需的時間 我們算出來是多少19.42秒

動畫算出來是34秒左右

請問上面的式子哪裡有問題嗎?

[ 這篇文章被編輯過: rtptoy 在 2010-10-05 11:37:13 ]

[ 這篇文章被編輯過: rtptoy 在 2010-10-05 11:38:56 ]
9:黃福坤(研究所)張貼:2010-10-05 14:39:30: [回應上一篇]
1. 請說明你處理的是 實心球 還是空心球殼 (轉動慣量不同)
2. 如何計算 摩擦力

請寫下詳細 算式 含你數值的帶入


10:rtptoy(大學理工科系)張貼:2010-10-07 11:20:12: [回應上一篇]

$-v=300-\frac{5}{2} 0.6 g t$ 
$v=100-\frac{3}{5}g t $
摩擦力的計算我是把正向立mg乘上摩擦係數0.6
使用的是球體
上面的式子我已經把數字簡化帶入可以消去的物理量已經消去了
聯立兩個式子算出來的時間是19.44秒
比動畫跑出來的小很多 大約在20秒以上
(初速度100 角速度60 半徑5 摩擦係數0.6 重力常數9.8 )
長度單位公尺  時間單位秒


[ 這篇文章被編輯過: rtptoy 在 2010-10-07 11:27:40 ]

11:黃福坤(研究所)張貼:2010-10-07 13:10:09: [回應上一篇]
 Vx=100 表示剛開始球向右的初速度
請說明 t=0時 球是逆時針方向轉動 還是順時針方向轉動?



12:rtptoy(大學理工科系)張貼:2010-10-07 15:42:13: [回應上一篇]
我是設定逆時鐘方向轉動,然後初速度朝右邊
13:黃福坤(研究所)張貼:2010-10-08 00:03:34: [回應上一篇]

似乎你下載了早期的動畫 請重新下載更新版
且 以上動畫 使用的應該是cgs制
所以對應的時間 確實應該是接近0.2秒
當初的程式有bug 請重新下載

14:或知或不知榮譽點數45點 (大學理工科系)張貼:2011-11-17 23:17:48: [回應第1篇]
哈哈  意外發現以下數據會讓球靜止耶!
R=2.5
Wi=-120
mu=0.6
Vxi=120.3




15:黃福坤(研究所)張貼:2011-11-17 23:39:28: [回應上一篇]
能讓球靜止的參數 有 很多種
有興趣可嘗試找出 須滿足的關係式smiley



16:謝宗傑 (大學)張貼:2011-12-15 22:20:44: [回應上一篇]

所以說

要判斷 摩擦力方向 是根據球與地面的接觸點

比較 Vx 和 rw 之間的方向和大小

 



[ 這篇文章被編輯過: 謝宗傑 在 2011-12-15 22:23:13 ]
17:黃福坤(研究所)張貼:2011-12-15 22:36:21: [回應上一篇]
摩擦力的方向由兩物體 相對運動的方向 決定




18:謝宗傑 (大學)張貼:2011-12-16 17:08:47: [回應上一篇]


Vx 是圓心對地面

rw 是接觸點對圓心

rw + Vx 可以知道 接觸點對地面 

所以可推得摩擦力方向 

是這樣解釋的嗎?


19:黃福坤(研究所)張貼:2014-07-28 17:14:55: [回應上一篇]

乒乓球 初速度 $v_0$ 往右,  角速率  $\omega_0<0$ (逆時針)
假設乒乓球質量m ,  半徑 r
乒乓球與桌面間動摩擦係數 $\mu$ 則其與桌面間磨擦力 $F=-\mu mg =m a $ 所以其質心所受加速度 $a= - \mu g $ 方向往左
因此其速度 $v(t)= v_0 - \mu g t$

乒乓球所受力矩 $\tau= r*F = r \mu mg = I \alpha$, 因此可算出角加速度 $\alpha$
其角速度 $\omega(t)= \omega_0+ \alpha t$  ($\omega_0<0$ )
當 角速度與速度滿足  $v=r \omega $也就是純滾動條件時, 變成靜摩擦力
之後 以等速度移動,等角速度轉動  也就是達到穩定狀態
若此時 $\omega<0$ 也就是 $v<0$ 表示原本往右的乒乓球 會回頭, 滾回來
若 $\omega>0$則 表示乒乓球 繼續往右等速前進

所以初始時 轉速 與初速度 決定 最後的平衡條件


 

20:黃福坤(研究所)張貼:2014-07-28 17:19:54: [回應上一篇]
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