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力學 標題:簡諧運動 與 等速率圓周運動 的關係
1:黃福坤(研究所)張貼:2004-02-01 15:36:00:
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簡諧運動 與 等速率圓周運動 的關係

 


若無法瀏覽動畫請點選使用問題

    當彈簧的受力 正比於 彈簧長度的變化量時, 彈簧會形成 簡諧運動。

    (Simple Harmonic Motion -SHM) 更複雜的問題請參考 彈簧與力

    本 Java 動畫 希望你能 藉由 動畫的觀察中 看出

      簡諧運動 與 等速率圓周運動 之間 的關係。

    按 Start 啟動動畫。 圓周上的黑點會以 等角速率繞著圓心運動。

    注意看 振幅 的波形 與 正弦函數 的關係。

    按 滑鼠 右鍵 能暫停動畫,再按一次 則會 繼續。

    你看出動畫中的頻率(每秒繞的圈數)是多少嗎?

    紅色箭頭 表示 黑點運動的速度,

    黃色箭頭 與 藍色箭頭 則分別代表 速度 在 X 及 Y 方向的分量(投影)。

    另外 紅色/黃色 線段 分別標出 X/Y方向上的位移。

    注意觀察 線段與 箭頭 長度之間 有沒有什麼關係?(從幾何上觀察)

    什麼時候質點的速度最大?什麼時候質點的速度最小?與位移間有何關係?

    圖中有一暗灰色區域,按滑鼠右鍵後 左右移動 可以讓圓板繞垂直軸轉動。

      用以模擬側面觀看 圓周運動 (圖片)。

      轉至寬度為零時,只能見垂直方向的運動。

 


    初學物理 的學生或許 都會有這樣的問題:

    為何 物理學 一直在談 彈簧與單擺等 簡諧運動。

    簡諧運動有什麼重要呢?還是 因為他們 簡單且數學上有完整的解。

    首先談談 什麼是 簡諧運動:

      考慮 物體不受力 處於 某個平衡位置。

      當物體受到 外界影響,使物體離開平衡位置時,

      凡是 物體所受的作用力 與 物體的位移 成正比,

      且作用力方向與位移方向相反時,

      簡單的說 作用力 F = - k X ( X 為物體的位移)。

      則 物體的運動會是 簡諧運動。

    數學上 我們可以完整的解出 簡諧運動 的 運動方程式 (改寫如下)

      F = m a = m d2X/dt2 = - k X

      d2X/dt2 = - (k/m) X = - ω2 X , ω2 = k/m

    其解可以 是 X = Xo sin (ωt +φ),其中 φ 為 一角度(相角)。

      | Xo | 為物體最大位移(彈簧最大 壓縮/伸張 量)

    以彈簧而言: k 為 彈性係數。ω 的數值由 彈性係數 k 與 質量 m 決定。

      Xo 與 φ 則由 彈簧的初始條件決定。(例如:t = 0 時 的位移 與速度)

    由於速度 V 是 位移隨時間的變化率

      V = Xo ω cos (ωt +φ)

    物體在 外力作用下 儲存的位能 U = -∫ F • d X = -∫ -kX • d X = (1/2) k X2

    物體的動能 K = (1/2) m V2

    物體的總機械能 E = U + K = (1/2) k X2 + (1/2) m V2

              = (1/2) k X2o sin2(ωt +φ) + (1/2) mω2 X2o cos2 (ωt +φ)

              = (1/2) k X2o ( ∵ k = mω2 且 sin2θ+ cos2θ= 1 )

    若是你想要討論實際彈簧又受到 阻力 或 強迫振盪 的情形,請參考 彈簧與力

     


    物體在 彈簧作用下儲存的位能為 (1/2) k X2 動能為 (1/2) m V2

      物體的總機械能 E = (1/2) k X2 + (1/2) m V2 = 常數

      因此 若將上式 微分 則

        dE/dt =0. , dK/dt = k X dX/dt = k X V, dU/dt = m V dV/dt = m V a

        則 0 = k X V + m V a

        ∴ F = m a = - k X 回到 作用力的方程式

    加以推廣:我們說 當 物體的位能 U(X)= a X2 時 (a>0) 便會是 簡諧運動。

讓我介紹 一下 最厲害的數學式:泰勒展開式

    對任一 x 為參數的函數 f(x) 可以表示為

    f(x) = f(xo) + (1/1!) f'(xo) (x-xo) + (1/2!) f''(xo) (x-xo)2 + (1/3!) f'''(xo) (x-xo)3 + ...(高次項)

      上式中 f', f'', f''' 等為 f 函數的一次,二次與三次微分。

    上面這個式子 初看之下,好像也沒有什麼特殊。但是只細想一想。

    上面的式子 說:

      只要我知道 一個函數 f 在 xo 點的函數值,一次微分的函數值,二次微分的函數值,

      三次微分的函數值...(無窮多項) 等 ,( xo 是 任意的一點)

      我可以得到 這個函數在 宇宙 任一角落處 得函數值。( x 也是 任意的一點)

    而且 這個函數 可以是 任何函數,例如:密度,溫度,壓力 ... 等。

    也就是說 如果我知道 空間中某處(實驗室)的溫度,溫度隨空間的一次微分,

      溫度隨空間的二次微分,溫度隨空間的三次微分 ... (在同一點的值)

    則我可以知道 遠在太陽系外某一點的溫度。(真厲害!)

    只是 唯一的缺點是(也是不可能辦到的)必須知道 溫度隨空間的任意次微分的值。

    但是 可以辦得到的是 溫度隨空間的最初幾次微分的數值。

    則 利用上式(泰勒展開式)時,只要 x 離開 xo 不很遠 則仍然可以使用。

    (當 x-xo 較小時,高階項可以忽略)

     


     

    我們若將 泰勒展開式 用在物體的 位能上,則 位能

    U(x) = U(xo) + (1/1!) U'(xo) (x-xo) + (1/2!) U''(xo) (x-xo)2 + (1/3!) U'''(xo) (x-xo)3 + ...

    當物體處於平衡位置 xo(不受力)時,

      U'(xo) = dU/dx | x=xo = - F(x)| x=xo = 0.

      F= - dU/dx 式的意思:( 力 是 位能隨空間的變化量)

        可由 U = -∫ F • d X 反推(微分)

    因此 U'(xo)=0. 而 位能的參考點 U(xo) 可以任選,設其為零。

    則 離開平衡位置 U(x) = (1/2!) U''(xo) (x-xo)2 + (1/3!) U'''(xo) (x-xo)3 + ...

    若取 x 離平衡位置不遠,則 U(x) = (1/2!) U''(xo) (x-xo)2

    也就是說 任何東西在離開平衡位置附近很近時,其位能皆為 位移平方的形式

      任何的物體 在穩定平衡點 (U''(xo)>0) 上,受到擾動做微小位移時

        其運動 都會是 簡諧運動。

    樹葉受風輕吹時,車子碰到小石塊時,橋樑受大貨車壓過時,...

      自然界的物體到處可見 簡諧運動的出現。

    你說 簡諧運動 重不重要呢?


    補充說明:

    凡是加速度和位移成正比 但是方向相反的運動都是簡諧運動
    最簡單的範例是彈簧的位移和受力成正比 但是方向相反
    因此其運動就是簡諧運動
    其解正好是正弦波 而自然界很多系統只要稍微偏離平衡狀態都是呈簡諧運動型式
    如小角度的單擺
    風輕吹時 樹葉呈簡諧運動
    風稍大時 樹葉不再是簡諧運動 但樹枝呈 簡諧運動
    地震時 地表也是呈現簡諧運動
    水面的濂波 ...
    自然界太多現象都和此相關 因此特別用個名稱稱呼:簡諧運動


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2:阿lee· (高中職)張貼:2010-01-10 23:52:05: [回應上一篇]

為什么正弦曲線上的是紅色箭頭? 黑點運動的速率不是應該是琠w的嗎? 那個箭頭不應該是黃色或藍色嗎?(黑點運動速度的分量)。本來沒想過這個問題,可是剛做一題目,它說求speed,我才注意到有兩個speed,所以問下。

 

“另外 紅色/黃色 線段 分別標出 X/Y方向上的位移”(第十一行) 我想應該是黃色或藍色,對嗎?

 


3:黃福坤(研究所)張貼:2010-01-11 01:25:33: [回應上一篇]
右邊的曲線中紅色的箭頭對應的是垂直方向的速度 也就是左邊圖中藍色的線段

第十一行 確實應該改為 黃色與藍色 已經修改了!
原因是最初動畫設計是紅色與黃色 後來應網友要求修改顏色 卻忘了修改網頁說明!
謝謝提醒


4:鄭為元 (高中職)張貼:2012-03-10 11:16:46: [回應上一篇]

    物體在 彈簧作用下儲存的位能為 (1/2) k X動能為 (1/2) m V2

      物體的總機械能 E = (1/2) k X+ (1/2) m V= 常數

      因此 若將上式 微分 則

        dE/dt =0. , dK/dt = k X dX/dt = k X V, dU/dt = m V dV/dt = m V a

        則 0 = k X V + m V a

        ∴ F = m a = - k X 回到 作用力的方程式

    加以推廣:我們說 當 物體的位能 與 U(X)= a X時 (a>0) 便會是 簡諧運動。

---------------------------------------------------------------
我有以下問題,煩請老師或高人指點:
1.上述提到的最後一句,不清楚怎麼來的
2.位能 不就是U(x)?


    我們若將 泰勒展開式 用在物體的 位能上,則 位能

    U(x) = U(xo) + (1/1!) U'(xo) (x-xo) + (1/2!) U''(xo) (x-xo)2 + (1/3!) U'''(xo) (x-xo)3 + ...

    當物體處於平衡位置 xo(不受力)時,

      U'(xo) = dU/dx | x=xo = - F(x)| x=xo = 0.

      F= - dU/dx 式的意思:( 力 是 位能隨空間的變化量)

        可由 U = -∫ F • d 反推(微分)

    因此 U'(xo)=0. 而 位能的參考點 U(xo) 可以任選,設其為零。

    則 離開平衡位置 U(x) = (1/2!) U''(xo) (x-xo)2 + (1/3!) U'''(xo) (x-xo)3 + ...

    若取 x 離平衡位置不遠,則 U(x) = (1/2!) U''(xo) (x-xo)2

    也就是說 任何東西在離開平衡位置附近很近時,其位能皆為 位移平方的形式

      任何的物體 在穩定平衡點 (U''(xo)>0) 上,受到擾動做微小位移時

        其運動 都會是 簡諧運動

1.
U(X0)=0,
U'(X0)=0, 如此U''(X0)(X-X0)2=0?

[ 這篇文章被編輯過: 鄭為元 在 2012-03-10 11:57:28 ]


[ 這篇文章被編輯過: 鄭為元 在 2012-03-10 11:58:24 ]


[ 這篇文章被編輯過: 鄭為元 在 2012-03-10 11:59:17 ]
5:黃福坤(研究所)張貼:2012-03-10 17:59:15: [回應上一篇]
我們說 當 物體的位能 U(X)= a X2 時 (a>0)
便會是 簡諧運動。

與 字是多打的!

U(X0)=0,U'(X0)=0,
U''(X0)(X-X0)2不見得為零,除非 U''(X0) 為零 或 X=X0
例如拋物線最低點 一次微分為零 可是二次微分不為零!



6:鄭為元 (高中職)張貼:2012-03-11 16:30:17: [回應上一篇]

謝謝老師解說
還有一問

    物體在 彈簧作用下儲存的位能為 (1/2) k X動能為 (1/2) m V2

      物體的總機械能 E = (1/2) k X+ (1/2) m V= 常數

      因此 若將上式 微分 則

        dE/dt =0. , dK/dt = k X dX/dt = k X V, dU/dt = m V dV/dt = m V a

        則 0 = k X V + m V a

        ∴ F = m a = - k X 回到 作用力的方程式

    加以推廣:我們說 當 物體的位能 與 U(X)= a X時 (a>0) 便會是 簡諧運動。

將SHM的動能與位能微分後
得到" 0=KXV+MVA " 是如何推到 " U(X)=AX2(A>0) "



[ 這篇文章被編輯過: 鄭為元 在 2012-03-11 16:32:02 ]
7:黃福坤(研究所)張貼:2012-03-11 19:34:05: [回應上一篇]
Quote:

將 泰勒展開式 用在物體的 位能上,則 位能

U(x) = U(xo) + (1/1!) U'(xo) (x-xo) + (1/2!) U''(xo) (x-xo)2 + (1/3!) U'''(xo) (x-xo)3 + ...




然後將條件帶入 U(xo)=0, U'(xo)=0,
剩下的就是二次項 U''(xo)就是對應 k


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