當彈簧的受力 正比於 彈簧長度的變化量時， 彈簧會形成
簡諧運動。
(Simple Harmonic Motion -SHM) 更複雜的問題請參考 彈簧與力
本 Java 動畫 希望你能 藉由 動畫的觀察中 看出
按 Start 啟動動畫。 圓周上的黑點會以 等角速率繞著圓心運動。
注意看 振幅 的波形 與 正弦函數 的關係。
按 滑鼠 右鍵 能暫停動畫，再按一次 則會 繼續。
你看出動畫中的頻率（每秒繞的圈數）是多少嗎？
紅色箭頭 表示 黑點運動的速度，
黃色箭頭 與 藍色箭頭 則分別代表 速度 在 X 及 Y 方向的分量（投影）。
另外 紅色/黃色 線段 分別標出 X/Y方向上的位移。
注意觀察 線段與 箭頭 長度之間 有沒有什麼關係？（從幾何上觀察）
什麼時候質點的速度最大？什麼時候質點的速度最小？與位移間有何關係？
圖中有一暗灰色區域，按滑鼠右鍵後 左右移動 可以讓圓板繞垂直軸轉動。
用以模擬側面觀看 圓周運動 （圖片）。
轉至寬度為零時，只能見垂直方向的運動。
初學物理 的學生或許 都會有這樣的問題：
為何 物理學 一直在談 彈簧與單擺等 簡諧運動。
簡諧運動有什麼重要呢？還是 因為他們 簡單且數學上有完整的解。
首先談談 什麼是 簡諧運動：
數學上 我們可以完整的解出 簡諧運動 的 運動方程式 (改寫如下)
F = m a = m d2X/dt2
= - k X
d2X/dt2 = - (k/m)
X = - ω2 X ，
ω2 = k/m
其解可以 是 X = Xo sin (ωt +φ)，其中 φ
為 一角度（相角）。
以彈簧而言： k 為 彈性係數。ω 的數值由 彈性係數 k 與 質量 m 決定。
由於速度 V 是 位移隨時間的變化率
物體在 外力作用下 儲存的位能 U = -∫ F • d X = -∫ -kX
• d X = (1/2) k X2
物體的動能 K = (1/2) m V2
物體的總機械能 E = U + K = (1/2) k X2 + (1/2) m V2
若是你想要討論實際彈簧又受到 阻力 或 強迫振盪 的情形，請參考 彈簧與力
物體在 彈簧作用下儲存的位能為 (1/2) k X2
，動能為 (1/2) m V2
物體的總機械能 E = (1/2) k X2 + (1/2) m V2 =
常數
因此 若將上式 微分 則
dE/dt =0. ， dK/dt = k X dX/dt = k X V， dU/dt = m V dV/dt = m V a
則 0 = k X V + m V a
∴ F = m a = - k X 回到 作用力的方程式
加以推廣：我們說 當 物體的位能 與 U(X)= a X2 時 (a>0)
便會是 簡諧運動。
對任一 x 為參數的函數 f(x) 可以表示為
f(x) = f(xo) + (1/1!) f'(xo) (x-xo) + (1/2!) f''(xo)
(x-xo)2 + (1/3!) f'''(xo) (x-xo)3 + ...（高次項）
上式中 f', f'', f''' 等為 f 函數的一次，二次與三次微分。
上面這個式子 初看之下，好像也沒有什麼特殊。但是只細想一想。
上面的式子 說：
只要我知道 一個函數 f 在 xo 點的函數值，一次微分的函數值，二次微分的函數值，
三次微分的函數值...（無窮多項） 等 ，（ xo 是 任意的一點）
我可以得到 這個函數在 宇宙 任一角落處 得函數值。（ x 也是 任意的一點）
而且 這個函數 可以是 任何函數，例如：密度，溫度，壓力 ... 等。
也就是說 如果我知道 空間中某處（實驗室）的溫度，溫度隨空間的一次微分，
則我可以知道 遠在太陽系外某一點的溫度。（真厲害！）
只是 唯一的缺點是（也是不可能辦到的）必須知道 溫度隨空間的任意次微分的值。
但是 可以辦得到的是 溫度隨空間的最初幾次微分的數值。
則 利用上式（泰勒展開式）時，只要 x 離開 xo 不很遠 則仍然可以使用。
（當 x-xo 較小時，高階項可以忽略）
我們若將 泰勒展開式 用在物體的 位能上，則 位能
U(x) = U(xo) + (1/1!) U'(xo) (x-xo) + (1/2!) U''(xo)
(x-xo)2 + (1/3!) U'''(xo) (x-xo)3 + ...
當物體處於平衡位置 xo（不受力）時，
U'(xo) = dU/dx | x=xo = - F(x)| x=xo = 0.
F= - dU/dx 式的意思：( 力 是 位能隨空間的變化量）
因此 U'(xo)=0. 而 位能的參考點 U(xo) 可以任選，設其為零。
則 離開平衡位置 U(x) = (1/2!) U''(xo) (x-xo)2
+ (1/3!) U'''(xo) (x-xo)3 + ...
若取 x 離平衡位置不遠，則 U(x) = (1/2!) U''(xo)
(x-xo)2
也就是說 任何東西在離開平衡位置附近很近時，其位能皆為
位移平方的形式。
樹葉受風輕吹時，車子碰到小石塊時，橋樑受大貨車壓過時，...
你說 簡諧運動 重不重要呢？
補充說明:
凡是加速度和位移成正比 但是方向相反的運動都是簡諧運動
最簡單的範例是彈簧的位移和受力成正比 但是方向相反
因此其運動就是簡諧運動
其解正好是正弦波 而自然界很多系統只要稍微偏離平衡狀態都是呈簡諧運動型式
如小角度的單擺
風輕吹時 樹葉呈簡諧運動
風稍大時 樹葉不再是簡諧運動 但樹枝呈 簡諧運動
地震時 地表也是呈現簡諧運動
水面的濂波 ...
自然界太多現象都和此相關 因此特別用個名稱稱呼:簡諧運動
(黃福坤)
