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力學 標題:砲對砲 --- 運動的獨立性
1:黃福坤 (研究所)張貼:2004-02-01 15:21:00:
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砲對砲 --- 運動的獨立性


如下圖, 兩門大炮(一高一低)相互描準對射
兩砲彈出口的速度並不見得相同. 會出現什麼樣的情況呢?
想知道答案嗎? 按一下 開始 便知分曉

若無法瀏覽動畫請點選使用問題


你可以改變兩砲的位置:

  1. 左上砲:以滑鼠按砲口 藍色小點, 然後上下拖動滑鼠, 改變砲的高度
  2. 右下砲:以滑鼠按砲的右下角, 然後左右拖動滑鼠, 改變砲的水平距離
  3. 以上改變時, 砲口會自動描準(全自動化的二代砲)
你可以改變砲彈的初速度:
兩砲口的紅色箭頭, 分別代表砲彈一秒鐘, 在無重力下所走的位移.
也就是出口時砲彈的速度(向量)
按住箭頭部份後,拖動滑鼠(上下左右隨你).便可調整初速度


??? 只要兩砲彈速度夠大. 在未著地前. 必然會在空中相會!!!
(若高度差為 h, 水平距離為 w, 兩砲彈初速度 v1,v2 需滿足怎樣的關係?)

想知道為什麼?

  1. 按一下 提示相關資訊 左邊小方塊
  2. 執行時會同時顯示在無重力場作用下, 兩砲彈的軌跡
  3. 以及重力場作用下, 砲彈落下的距離(黃線)
動畫進行時, 如何暫停
  1. 按一下滑鼠左鍵, 會暫停, 放開時繼續
  2. 按一下滑鼠右鍵也會暫停, 需再按一次才會繼續
  3. 若先按右鍵再按左鍵呢? 想一想, 試一試便知道
想一想, 這和運動獨立性的關連. 射擊飛行中的物體時該如何描準?


射猴子的老問題(重力場內的拋體運動)


這是一個老掉牙的物理習題:

    有一隻猴子在樹上, 當獵人舉槍射出子彈的同時, 猴子因為嚇昏了而往下掉, 獵人該如何描準, 才會擊中猴子?

    答案是:子彈與猴子都會因為地球重力而下落, 因此需要直接瞄準猴子, 才能擊中.

這實在是一個非常不好的題目. 不愛護野生動物不打緊, 而題目的情境也不合乎實際. 猴子聽到槍聲時, 子彈已經在半路上了, 猴子如果真的嚇昏了, 也需要一反應時間才會往下掉. 還沒掉下來前, 恐怕已經餵子彈了!如此則答案該是瞄準猴子上方一點點(可能小於瞄準誤差的一點點).

這個問題原本是要探討重力場內拋體運動中運動的獨立性. 讓我們回到真正的物理來:

若無法瀏覽動畫請點選使用問題


本程式企圖說明重力場內拋體運動中, 運動的獨立性.

上圖中有三個藍色球(左二右一), 藍色細線長度正比於其初速度. (綠色為水平初速度, 紅色為垂直初速度), 兩藍色細線都對準了右邊的藍色球. 若三者同時開始運動, 則左兩藍色球必將(且同時)擊中右邊的球.

  1. 水平與垂直初速度分別列於上方Vx, Vy 空格中
  2. 你可以讓滑鼠指標靠近右邊球, 按下後拖動來改變藍色球水平位移.
    1. 若是按滑鼠右鍵, 則左邊球的水平初速將會跟著改變(垂直初速不變)
    2. 若是按滑鼠左鍵, 則左邊球的垂直初速將會跟著改變(水平初速不變)
  3. 按 Start 後, 三球將一起開始運動(重立場向下)time 空格將顯示時間
  4. 運動中, 按滑鼠鍵將暫停, 再按一次則繼續. 上方又空格將顯示時間與位移
  5. 運動中, 會出現兩綠球, 其軌跡為左邊兩藍色球再無重立場下時運動軌跡
  6. 按 Reset 後, 三球將回復原來位置
  7. 運動停止後, 移動滑鼠, 將顯示不同時刻的資訊
    1. 綠色水平線標示, 左兩球的水平位移.
    2. 紅色向下箭頭代表三球的垂直位移.

物理解析:若水平方向為X軸, 垂直方向為Y軸

自由落體 x(t)=x0 y(t)=y0-(1/2) g t2
水平拋體 x(t)=x0+vx t y(t)=y0-(1/2) g t2
斜向拋射 x(t)=x0+vx t y(t)=y0-vy t - (1/2) g t2
  1. 水平拋體中, 可將其運動分解為垂直方向與水平方向. 兩者相互獨立(互不影響).
  2. 在與物體水平速度相同的座標系觀察, 則物體呈現自由落體運動.
    這是我們在處理物理問題時, 常用的方法. 將一複雜的問題, 分解為數個相互不影響的小問題, 而這些較容易處理的小問題解決後, 也就解答了原本的問題.
  3. 斜向拋射, 除了可以分解為水平X方向與垂直Y方向運動外, 也可以分解為
  4. 不受重立場影響的直線運動(綠球軌跡) + 自由落體運動(紅色向下位移)
    所以 運動的軌跡(位移) = 不受外力時軌跡(位移) + 受外力時軌跡(位移)


以下是師大物理系89級古文龍 對本程式所增加的說明, 謝謝他
本程式是依照運動的獨立性來加以設計的。

為什麼我們可以將運動分別視作x軸和y軸方向的互不相干的獨立運動呢?

這可以用一個實際的例子來加以說明。

    現在有兩個人甲和乙分別站在月台上和火車上。

    火車正以等速度穿過月台。

    假設火車上的乙正在垂直向上拋一個球。

    月台上的甲也看到了乙正在拋這個球。

    對甲而言,這個球所走的軌跡是一個拋物線。

    但是,對乙而言,這個球所走的軌跡是垂直線。

    何以同樣的一種運動,在甲乙兩人的眼中,

      居然會產生兩種截然不同的結果呢???
    因為我們發現對乙而言,由於乙和球和火車具有相同的水平速度。

    因此在水平方向上,乙覺得球根本不會左右搖擺。

    然而,對甲而言,情形就不是這樣的了。

    因為球具有水平方向的速度, 他會覺得火車開進來時,球會一直接近他。

    這就是為什麼同樣的一種運動,在甲乙的眼中,會有不同的效應,

    如果要用物理語言來描述的話,就說

      甲乙兩人在不同的慣性座標系中,

      而乙和球在相同的慣性座標系中。

    要使兩人看到同樣的結果,就令甲追上火車,和火車保持相同的速度,
      使他覺得球的位置不動,
    此時,兩人和球就在同一慣性座標系中了。

    然後,乙將球往上拋,甲乙兩人就會看到相同的效應了。

    因此,物理學家乾脆將球的水平方向的運動和鉛直方向的運動分開來。

    水平方向的運動不會影響到鉛直方向的運動。

    同樣地,鉛直方向的運動也不會影響到水平方向的運動。

    而兩者之和(向量和)即為這個球所呈現出來的運動。

    而這也就是運動的獨立性的涵義。

    甲所看到的球具有水平的速度,而乙卻沒有看到這個速度。

    而球上拋是鉛直方向的速度,如果根據運動的獨立性來看的話,

    這個方向的速度是不會影響甲乙兩人所分別看到的水平的速度的。

    對甲而言,他所見到的球的表現是球的水平運動加上鉛直上拋所相加而成的。

    所以甲看到的是球進行斜向拋射。

    對乙而言,他原本覺得球對他沒有水平方向的運動,

    所以他所見到的球是單純的鉛直上拋。

    在平面座標上,其實我們不一定要分成鉛直和水平兩個方向,

    我們只要分成兩個互相垂直的方向就可以了。

    我用運動的獨立性來解釋了為什麼甲和乙對同一種運動居然會有不同的見解。

    其實也不見得一定要分成互相垂直的方向. 斜向拋射時. 可將運動視為

    無重力場下的直線運動(綠色軌跡) + 受重力場影響的自由落體運動(紅色軌跡)

    = 子彈的斜向拋射運動(藍色軌跡)


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