國立台灣師範大學物理系 物理教學示範實驗教室(網站) 物理問題討論區 (黃福坤)
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討論區首頁 >>物理課程相關問題(分成國中/高中/大學等區) >>高中物理教材內容討論>>關於單擺\週期公式..............
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力學 標題:關於單擺\週期公式..............
1:littlecan榮譽點數1點 (高中職)張貼:2003-12-07 16:35:00:地點 台灣台北
我是國三ㄉ學生,正在上單擺那個部分,老師補充了單擺週期公式T= \frac{\theta}{\alpha+\beta}  但是我不知道為什麼........還有,老師也說,其實大角度的單擺運動週期公式後面還有一長串的三角函數(好像是sin),可否請熟物理的朋友替我推導公式ㄋ??(用三角函數沒關係,我看得懂)
2:littlecan榮譽點數1點 (高中職)張貼:2003-12-07 16:36:00:地點 台灣台北 [回應上一篇]
我是指 T=2*pi*(l/g)1/2
3:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-07 17:37:00:來自 國立中興大學 [回應上一篇]
先推小角度,

τ=Iα =>
L*mg*sinθ=m(L^2)*(θ") =>
∵when θ→0 , sinθ≒θ
∴gθ=L(θ")
解微分方程
(過程請參考Boas著Mathematical Methods in the Physical Sciences)
可得一特解θ=A*cos[(g/L)^(1/2)t]
cos(x)的週期是2π =>
2π=[(g/L)^(1/2)]*T =>
T=2π[(L/g)^(1/2)]

大角度待續,..
4:always1741榮譽點數1點 (高中職)張貼:2003-12-07 17:57:00:地點 台灣台中 [回應上一篇]

我們剛剛好上到這部分

其實是簡諧運動(S.H.M)

不過我們老師只有推導擺角很小(< 5度)的情況

擺角如果過大還算簡諧運動嗎?靜待高手回答

 

當單擺擺到最高點時

會有一回復力(Ft)

Ft=mgsinθ≒mgθ = mg(S/L) ≒(mg/L)*x = (mg/L)*X(X為一向量,所以本式多了一個負號表示與回復力方向相反)

說明:θ 為擺角

mgsinθ≒mgθ 是因為在θ 較小時 , sinθθ

S/L=θ  其中  L為擺長 S為自平衡點至最高點所經過的弧長

x(自平衡點至最高點的水平位移)在擺角小時約略可視為S

 

Ft=(mg/L)*x = mω2*x  (近似S.H.M !)      

ω為做簡諧運動時(投射在參考圓上的等速率圓週運動)所具備的角頻率

可得

ω =(g/ L) ^ 0.5    T = 2 pi /ω  即得



[ 這篇文章被編輯過: always1741 在 2003-12-07 18:00 ]
5:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-07 20:14:00:來自 國立中興大學 [回應上一篇]
[quote] 在 2003-12-07 17:57, always1741 寫了:

我們剛剛好上到這部分

其實是簡諧運動(S.H.M)

不過我們老師只有推導擺\角很小(< 5度)的情況

擺\角如果過大還算簡諧運動嗎?靜待高手回答



你列出的推導過程不是已經寫明了是近似S.H.M.嘛?
如果本來就是S.H.M.了,何必近似?

當單擺\擺\到最高點時

會有一回復力(Ft)

Ft=mgsinθ≒mgθ = mg(S/L) ≒(mg/L)*x = (mg/L)*X(X為一向量,所以本式多了一個負號表示與回復力方向相反)

說明:θ 為擺\角

mgsinθ≒mgθ 是因為在θ 較小時 , sinθθ

S/L=θ 其中 L為擺\長 S為自平衡點至最高點所經過的弧長

x(自平衡點至最高點的水平位移)在擺\角小時約略可視為S

Ft=(mg/L)*x = mω2*x (近似S.H.M !)

ω為做簡諧運動時(投射在參考圓上的等速率圓週運動)所具備的角頻率

可得

ω =(g/ L) ^ 0.5 T = 2 pi /

6:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-07 20:25:00:來自 國立中興大學 [回應上一篇]
高中參考書常常會列出以上的小角度推導,

然後告訴你簡諧運動是圓周運動的投影,

其實省略了一個解微分方程的步驟,

而且這種導法很怪,明明是在弧上卻寫成線上的


7:always1741榮譽點數1點 (高中職)張貼:2003-12-07 20:32:00:地點 台灣台中 [回應上一篇]

我翻遍高中物理教科書

沒有不講簡諧運動不把它投影到參考圓能傳達教科書的意思

而且會這麼推導也只能把他想做

在擺角很小的時候

在弧上或在直線上的些微差異在高中來講是可以接受的吧

在第一志願的學校我也只聽到這樣的導法....



[ 這篇文章被編輯過: always1741 在 2003-12-07 20:32 ]
8:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-07 20:57:00:來自 國立中興大學 [回應上一篇]
1.這裡沒有人告訴你不考慮參考圓,
只是告訴你參考圓是哪裡來的,
答案就在於解微分方程,

2.高中能不能滿意這種做法,因人而異,
只不過這是讓數學過程比較簡單的做法,
能多知道一些概念來排解心中的疑惑,
是不是比較清爽些?

3.當然,對國中生而言,高中內容不必強調,
對高中課程而言,大學內容也不必在課堂上詳述,

你自己有興趣,
總可以私下請教老師或自己上圖書館吧

並不是每個東西都有辦法簡化到國中高中的程度,

何況基於好奇多學一些東西我覺得沒有什麼不好
9:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-07 21:11:00:來自 國立中興大學 [回應上一篇]
原發問者問的是小角度與大角度,

高中課本做的直線運動類比小角度,
雖然是中學生易於接受的方式,
但是要作為一個大角度下的特例就不適合,

所以,對於這個疑惑,與其屈就於高中的權宜之計,

不如還他精神原貌,一次說清楚,
只要不是解微分方程,
花些時間理解其實不算困難,

10:傅幽谷榮譽點數1點 (高中)張貼:2003-12-08 08:35:00:地點 台灣台北 [回應上一篇]

高中課程的主題是簡諧運動,而單擺在小角度的情況下符合簡諧運動的規則。

a=-ω平方*x

是直線運動。

至於以圓周運動來講解簡諧,應是它符合具體、易想像的特性吧。


11:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-08 11:06:00:地點 台灣台北 [回應上一篇]

a_n=\frac{4{\pi}^2R}{P^2}

R : 半徑

P : 週期

T : 張力

an: 法線加速度

T=ma_n-wcos{\theta}=m(a_n-gcos\theta)=m(\frac{4{\pi}^2R}{P^2}-gcos\theta)

\Rightarrow \frac{T}{m}+gcos\theta=\frac{4{\pi}^2R}{P^2}

\Rightarrow P^2=\frac{4{\pi}^2R}{\frac{T}{m}+gcos\theta}

\Rightarrow P=2{\pi}\sqrt{\frac{R}{\frac{T}{m}+gcos\theta}}

R,T,m均固定,比較一下角度:

cos3^{\circ}=0.998...{\approx}1

cos4^{\circ}=0.997...{\approx}1

cos5^{\circ}=0.996...{\approx}1

cos5.5^{\circ}=0.995...{\approx}1

cos6^{\circ}=0.994...{\approx}0.99

cos7^{\circ}=0.992...{\approx}0.99

比較以上數值;當大角度單擺的時候,誤差會越大.注意一件事:單擺不可能作〔等速率〕圓周運動,它只作〔鉛直圓周運動〕(想一想其中的道理?)


12:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-08 11:19:00:地點 台灣台北 [回應上一篇]
Quote:
在 2003-12-07 17:57, always1741 寫了: 

Ft=(mg/L)*x = mω2*x  (近似S.H.M !)      

ω為做簡諧運動時(投射在參考圓上的等速率圓週運動)所具備的角頻率


不對,單擺確實可以看成圓周運動的一部分,但並不是〔等速率〕的圓周運動.因為單擺要擺動,需要重力,這樣是〔鉛直面〕上的圓周運動.

我不曉得高中課本有沒有講到〔鉛直圓周運動〕?但我知道升研究所用的參考書有提到它,但是又把單擺放在簡諧運動的部分來講,觀念上不容易整合,因此讀書的時候還是需要多靠自己的整合,才不會有資訊不連貫的情形發生.


13:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-08 11:43:00:地點 台灣台北 [回應上一篇]

補充一下,或許把單擺的擺繩換成〔細線〕,考慮一下張力會比較好.(當然別忘了還有向心力!)


14:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-08 18:50:00:地點 台灣台北 [回應上一篇]

Quote:
在 2003-12-07 17:37, phyc 寫了:

解微分方程 (過程請參考Boas著Mathematical Methods in the Physical Sciences) 


可以簡述怎麼用微分方程來推導嗎?(我手邊沒有你說的那本書,因此拜託一下!)


15:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-08 19:09:00:來自 國立中興大學 [回應上一篇]
過程冗長,難以簡述,
(如果我的手沒受傷,會樂於嘗試)
所以還是麻煩你找任何一本工程數學的書查閱好嗎?

教你怎麼找,
常微分方程->二階線性齊次微分方程式,

會推薦Boas是因為我覺得這個部分他寫的簡潔易懂,
如果你沒有,隨便一本書也行
16:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-08 19:28:00:來自 國立中興大學 [回應上一篇]
Quote:
在 2003-12-08 08:35, 傅幽谷 寫了:

高中課程的主題是簡諧運動,而單擺\在小角度的情況下符合簡諧運動的規則。

a=-ω平方*x

是直線運動。

至於以圓周運動來講解簡諧,應是它符合具體、易想像的特性吧。



Yes
同時,圓周運動可簡化S.H.M會遇到的所有問題,
諸如速度.加速度.時間.等等,都可以拿來做對比,

使的原本的微積分計算全部化成簡單的代數計算,
這真的是很奇妙的
17:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-08 20:40:00:地點 台灣台北 [回應上一篇]

Quote:
在 2003-12-08 19:09, phyc 寫了:

教你怎麼找, 常微分方程->二階線性齊次微分方程式, 會推薦Boas是因為我覺得這個部分他寫的簡潔易懂, 如果你沒有,隨便一本書也行


可以大概講一下使用〔微分方程〕的物理意義為何?


18:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-09 18:52:00:來自 國立中興大學 [回應上一篇]
一個等式中有未知數,我們稱此為方程式,

例如a(x^2)+bx+c=0求解x

若其中的未知數全都是某函數及他的導數
我們稱此為微分方程式

例如角位置函數,以及角位置對時間的二階微分

如我上次所列的

解得角位置函數

我們便可由微分得知角速度和角加速度以及與時間的關係
19:littlecan榮譽點數1點 (高中職)張貼:2003-12-09 22:05:00:地點 台灣台北 [回應上一篇]

嗯........小角度的sin值的確接近原來角度數值...........這樣就成為整係數微分方程。但是如果是大角度ㄉ話,sinθ不等於θ,從而方程成為如下:

L*(θ'')=-g*sinθ

這樣的話,θ前面有討厭的sin,連用拉普拉斯變換都有問題ㄟ.................怎麼辦哩.............


20:fireball榮譽點數5點 (幼稚園)張貼:2003-12-09 23:49:00:來自 國立台灣工技學院 [回應上一篇]

 

               (u是指u(t)啦)                        由P(t) - fs = m (u'')          ------>       mu" + ku = P    又加上P(t)=0~~及給定初始條件u(0)及u'(0)             得到  u(t) = u(0)Cos(Wn*t) + [u'(0)/Wn]Sin(Wn*t)             且   Wn(自然頻率) = 開根號(k/m) [ 這篇文章被編輯過: fireball 在 2003-12-10 01:08 ]


21:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-10 01:11:00:來自 國立中興大學 [回應上一篇]
Quote:
在 2003-12-09 22:05, littlecan 寫了:

嗯........小角度的sin值的確接近原來角度數值...........這樣就成為整係數微分方程。但是如果是大角度ㄉ話,sinθ不等於θ,從而方程成為如下:

L*(θ\'\')=-g*sinθ

這樣的話,θ前面有討厭的sin,連用拉普拉斯變換都有問題ㄟ.................怎麼辦哩.............




物理數學方法或工程數學課本
二階線性非齊次微分方程式

通常緊接在二階線性齊次微分方程式之後
先求齊次通解與非齊次特解
可得非齊次一般解

22:littlecan榮譽點數1點 (高中職)張貼:2003-12-10 18:50:00:地點 台灣台北 [回應上一篇]

二階線性非齊次微分方程式我還沒學過耶..............只學到二階線性齊次微分方程式的解法。可以請phyc大大解說一下嗎?(一籌莫展中..........)


23:littlecan榮譽點數1點 (高中職)張貼:2003-12-10 18:56:00:地點 台灣台北 [回應上一篇]
     fireball大大.............我完全看不懂您在寫啥耶............可否請您弄"好看"一點呢?
24:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-10 21:02:00:來自 國立中興大學 [回應上一篇]
Quote:
在 2003-12-10 18:50, littlecan 寫了:

二階線性非齊次微分方程式我還沒學過耶..............只學到二階線性齊次微分方程式的解法。可以請phyc大大解說一下嗎?(一籌莫展中..........)


這本中文書,一般書店可找到
25:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-10 21:17:00:來自 國立中興大學 [回應上一篇]

littlecan還是國中生就學微分方程了阿?

如果這裡的問題
必須吸收散佈在整本微積分與工程數學的各個部分才能解決
請你翻書就未免過於誇張離譜、強人所難

然而事實並非如此

你既然已經學會了齊次
自學非齊次對你而言應該不是問題
這些涉及的內容全部單獨集中在書中的某一部分

是很基本而獨立的內容
不需要綜合統整與融會貫通才能解決

與其讓我在這裡寫給你
抹殺你的自學能力

都不如你親自看書更加詳盡
這樣你也才有機會學到書本以外的東西

因為這是你可以做到的事
而且不難
我也告訴你該看哪個地方了
所以希望你能試著用自己的力量去達成


[ 這篇文章被編輯過: phyc 在 2003-12-10 21:18 ]
26:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-10 21:20:00:來自 國立中興大學 [回應上一篇]

加油吧

如果看不懂再提出來問
27:黃福坤 (研究所)張貼:2003-12-11 08:38:00:來自 國立台灣師範大學 [回應上一篇]
其實本討論區早已經討論過此問題
大家一值談 小角度 大角度 何謂小角度? 何謂大角度?
有人講 1度以下 有人講 5度以下 有人說10度也可以算小角度 標準為何?
以上推導過程中將 sinθ近似為 θ
實際上以泰勒展開式
sin\theta=\theta-\frac{1}{3!}\theta^3+\frac{1}{5!}\theta^5-\frac{1}{7!}\theta^7+\cdots
忽略掉高次項 其百分誤差為 \frac{(1/3!)\theta^3}{\theta}=\frac{\theta^2}{6}
當角度為5度時 \theta= \frac{5\pi}{180}\approx\frac{1}{12}
所以百分誤差約 \frac{1}{6*12*12}=\frac{1}{864} 幾乎是千分之一
所以
擺角 10度時誤差也不過是 千分之五左右
擺角 20度時誤差也不過是 百分之二左右

因此要談何謂小角度 要先指明 誤差容許範圍 否則沒有參考點 談大小沒有交集!也失去意義
28:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-11 10:44:00:來自 國立中興大學 [回應上一篇]

我猜這裡的大角度指的是任意角度

小角度則是任意角度再考慮誤差範圍下的一種近似

通常我們拿單擺觀察S.H.M.的運動以及週期

所以專指小角度 在共有默契下

大角度自然變成了任意角度的俗語
29:傅幽谷榮譽點數1點 (高中)張貼:2003-12-11 11:42:00:地點 台灣台北 [回應上一篇]

打字一半,突然發現自己的問題在哪,所以........



[ 這篇文章被編輯過: 傅幽谷 在 2003-12-11 11:44 ]
30:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-11 18:38:00:地點 台灣台北 [回應上一篇]

Quote:
在 2003-12-11 10:44, phyc 寫了:

我猜這裡的大角度指的是任意角度 小角度則是任意角度再考慮誤差範圍下的一種近似 通常我們拿單擺觀察S.H.M.的運動以及週期 所以專指小角度 在共有默契下 大角度自然變成了任意角度的俗語


要作大角度的單擺很難 或許重力很強的星球上可以辦盜(個人意見尚未去查證)

 


31:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-11 20:29:00:地點 台灣台北 [回應上一篇]
〔泰勒展開式〕屬於大學基礎微積分的範圍,高中以下在學學生不宜涉入.
32:littlecan榮譽點數1點 (高中職)張貼:2003-12-11 21:19:00:地點 台灣彰化 [回應上一篇]

    其實我覺得只要有興趣,提前學更深的課程其實也沒什麼不好,就算祇是學個皮毛而已...........就如{微積分}{三角函數}{排列組合}{對數}...........等等這些高中大學課程,只要基礎打穩之後,就可學習。也沒人規定說一定要高三才可以學微積分滴.............

    各位"長輩"請我去自己翻閱的微積分書籍,我會在複習考後找找的.........只要身陷入這一類的問題我都無法自拔....呵呵。還是複習考比較重要


33:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-11 21:43:00:來自 國立中興大學 [回應上一篇]
呵呵 加油!

複習考事關成績與正常學習
當然擺要第一

課餘若能基於自己的興趣作進一步的涉獵也很不錯唷

有這種主動學習的精神
相信網友們也會難以自拔地與你討論

34:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-12 18:29:00:地點 台灣台北 [回應上一篇]

我猜角度稍微超過5o的單擺,不會是簡諧運動的原因,是因為空氣阻力的關係.時間久了,誤差會累積起來,變得很可觀.

如果超過5o太多的,不必很久的時間,就會馬上變成非簡諧運動.舉個極端的例子:90o的單擺,第二週期的振盪時,角度會縮小很多,隨著時間的流逝,角度越縮越小,最後維持在5o左右.(這之後變成簡諧)

我現在的能力還沒辦法把以上敘述量化,所以有可能是錯誤的,請參考就好,如有您個人的見解,歡迎提出.


35:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-13 18:32:00:地點 台灣台北 [回應上一篇]

Quote:
在 2003-12-11 10:44, phyc 寫了:

我猜這裡的大角度指的是任意角度 小角度則是任意角度再考慮誤差範圍下的一種近似 通常我們拿單擺觀察S.H.M.的運動以及週期 所以專指小角度 在共有默契下 大角度自然變成了任意角度的俗語


很多高中課本參考書寫的〔5o之內成簡諧〕,我的看法如下(不知道為什麼要這樣算,我正在研究中):

\frac{1}{2}*9.8+\frac{1}{9.8} {\approx}5.00

或者

\frac{9.8}{\frac{1}{2}*{\pi}+\frac{1}{\pi}} {\approx}5.19


36:littlecan榮譽點數1點 (高中職)張貼:2003-12-13 22:09:00:地點 台灣彰化 [回應上一篇]

嗯.............為什麼理想"簡諧單擺"的擺角是\frac {g}{2}+\frac {1}{g}   呢????思考看看...............


37:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-14 15:30:00:地點 台灣台北 [回應上一篇]
Quote:
在 2003-12-13 22:09, littlecan 寫了:

嗯.............為什麼理想"簡諧單擺"的擺角是\frac {g}{2}+\frac {1}{g}   呢????思考看看...............


這只是我的直覺,還在研究它背後的原因(或許有可能是錯的).

順道一題,可否請版主把這個版面調整一下呢?要拉橫捲軸很麻煩!


38:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-14 16:03:00:來自 國立中興大學 [回應上一篇]
因次式不同
答案怎麼會對
39:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-14 18:45:00:地點 台灣台北 [回應上一篇]

應該是只有取數值部分而已,而且不取 g=980cm/s2

dsin\theta=cos\theta d\theta

{\Rightarrow} \frac{dsin\theta}{d\theta}=cos\theta {\Rightarrow} \theta{\neq}0^{\circ}

設f(X)=sin\theta , f'(X)=\frac{d}{d\theta}sin\theta

臨界點 : \theta=cos^{-1}0 , \theta=90^{\circ}

所以取 g=9.8m/s2

至於為何不取單位,想和大家討論看看.....


40:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-16 09:56:00:地點 台灣高雄 [回應上一篇]
Quote:
在 2003-12-12 18:29, 狄卡爾 寫了:

角度稍微超過5o的單擺,不會是簡諧運動的原因...


後來我用傅立葉解出不是5o , 是7o , 可能還需要再議


41:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-25 18:04:00:地點 台灣台北 [回應上一篇]

Quote:
在 2003-12-11 10:44, phyc 寫了: 我這裡的大角度指的是任意角度


學習科學可以"擲骰子"嗎!

愛因斯坦:我不相信上帝會擲骰子!


42:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-26 17:43:00:來自 國立中興大學 [回應上一篇]
這裡只是言語表達問題

43:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-29 20:33:00:地點 台灣台北 [回應上一篇]

那為什麼任意角度沒有-3000同界角之類的?

既然要猜不如猜個徹底一點,不是嗎?


44:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2004-02-08 17:03:00:地點 台灣高雄 [回應上一篇]

Quote:
在 2003-12-07 16:35, littlecan 寫了: 我是國三ㄉ學生,正在上單擺那個部分,老師補充了單擺週期公式T= \frac{\theta}{\alpha+\beta}  但是我不知道為什麼........還有,老師也說,其實大角度的單擺運動週期公式後面還有一長串的三角函數(好像是sin),可否請熟物理的朋友替我推導公式ㄋ??(用三角函數沒關係,我看得懂)

你們老師補充的公式應該是這樣 :

T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}*[1+\frac{1^2}{2^2}sin^{2}(\frac{\theta}{2})+\frac{1^2}{2^2}*\frac{3^2}{4^2}sin^{4}(\frac{\theta}{2})+\frac{1^2}{2^2}*\frac{3^2}{4^2}*\frac{5^2}{6^2}sin^{6}(\frac{\theta}{2})+...]

因為單擺的圖形是正弦波 故cos函數前面的傅立葉係數為零

這要用傅立葉級數展開..



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2004-02-08 17:16 ]
45:littlecan榮譽點數1點 (高中職)張貼:2004-06-17 19:42:52:地點 台灣台南 [回應上一篇]

恩恩.......當角度小時,右邊的括號內部加起來的確是接近1........

用傅立葉展開是不錯的方法,我去試試看...........


46:Momentum榮譽點數1點 (高中職)張貼:2004-06-21 02:15:01:地點 台灣高雄 [回應上一篇]
Quote:
在 2003-12-11 21:19:00, littlecan 寫了:

    其實我覺得只要有興趣,提前學更深的課程其實也沒什麼不好,就算祇是學個皮毛而已...........就如{微積分}{三角函數}{排列組合}{對數}...........等等這些高中大學課程,只要基礎打穩之後,就可學習。也沒人規定說一定要高三才可以學微積分滴.............

    各位"長輩"請我去自己翻閱的微積分書籍,我會在複習考後找找的.........只要身陷入這一類的問題我都無法自拔....呵呵。還是複習考比較重要


如同你所打的那些,三角函數、排列組合、對數,

只要會這些小工具,

也不用學得過於精巧,普通普通即可,

這樣子就足夠學習微積分。

 

但是你後面的那句話「即使只是學個皮毛」我就不是很認同。

蜻蜓點水式的學習,只會讓你將來重頭開始。

 

如果是個面臨考試的國三生,

我建議你先好好準備聯考的各科,

考完後,買本大學一年級學生所要讀的初等微積分,

暑假有兩個月的漫長時光,

足以讓你好好地從第一頁慢慢看,用心的把習題做完,

※對不起我講話不好聽,但是真的建議慢慢來


47:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2004-06-21 18:00:51:地點 台灣高雄 [回應上一篇]

如果是要越級去讀微積分的話 that's ok 當你對數學的感覺feeling很夠的話 沒什麼不可以搭....

其實數理的東西和音樂一樣 沒人規定一定要有什麼基礎才能做什麼 當然基本的樂譜要會看倒是真的必要 .........數理是很隨興的

但是國內的教育環境 一直灌輸大家錯誤的觀念 以為一定要一關過一關才算是正統的學習 這種想法講給國外的人 他們會覺得我們太嚴肅且太保守



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2004-06-21 18:02:23 ]
48:Momentum榮譽點數1點 (高中職)張貼:2004-06-22 00:56:26:地點 台灣高雄 [回應上一篇]
Quote:
在 2004-06-21 18:00:51, 狄卡爾 寫了:

如果是要越級去讀微積分的話 that's ok 當你對數學的感覺feeling很夠的話 沒什麼不可以搭....

其實數理的東西和音樂一樣 沒人規定一定要有什麼基礎才能做什麼 當然基本的樂譜要會看倒是真的必要 .........數理是很隨興的

但是國內的教育環境 一直灌輸大家錯誤的觀念 以為一定要一關過一關才算是正統的學習 這種想法講給國外的人 他們會覺得我們太嚴肅且太保守

[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2004-06-21 18:02:23 ]


其實就以高中的教材來說,

數理真的是很隨興~幾乎想學什麼就學什麼,

即使是個新手,只要努力配合指導者,就可以馬上入門。

至於音樂...其他不知道,

但是像鋼琴就沒這麼隨興,幾乎就是一關接著一關,

而且光是初期要將無名指和小指練強就要很久嚕~


49:littlecan榮譽點數1點 (高中職)張貼:2004-06-24 10:39:51:地點 台灣台北 [回應上一篇]

        嗯......事實上,如果學數學只是學個皮毛的話,就幾乎沒有實質效益了。只學一點點,等於只能跟別人炫耀說我會什麼、我會什麼的,當別人請教你更深的問題,豈不啞口無言?

        談到鋼琴......老實說,我有學鋼琴,而且練音階就練了好幾個禮拜。光是這些就有12個大調和12個小調.......實在是有夠基本的.........不過有些曲子不練音階、琶音這些東西,要談好幾乎是不可能ㄉ。

        順帶議題,我已經畢業了!


50:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2004-06-24 11:06:37:地點 台灣高雄 [回應上一篇]

那麼要越級讀微積分就打消好了 不然呢?

我是20歲之後 有遇到各個領域的老師(電子,化工, .....) 他們啟發我微積分直觀精神的 不然如果真像愛因斯坦那樣16歲就可以自學微積分 喔我沒那麼天才呢


51:榮譽點數7點 (成功物研)張貼:2004-06-24 11:12:18:地點 台灣嘉義 [回應上一篇]
國外學習方式跟國內不同吧
52:Hydrogen Dioxide(大學理工科系)張貼:2007-02-24 00:09:18:地點 台灣台北 [回應上一篇]

下掛的物質質量m線長h 有效的分力為-mgsina .... a表示角度

由力舉定義 : tau=Fh=I alpha(角加速度)

tau對應於線運動的F , I 對應m, alpha對應a

tau=Fh=-mgsina h=I alpha

a-->0即物體在平衡點處附近SHM 所以sina~a

tau=Fh=-mga h=I alpha

alpha=-mga h/I

列出2nd order ODE: a"+mga h/I=0 改寫成Ia"+mgh a=0剛好型如mx"+kx=0即符合簡協運動方程

所以角頻率為 : sqrt(mgh/I)

單百週期因而是: 2pi/w=2π√(I/mgh)=2π√(mh2/mgh)=2π√(h/g)=T

下掛物體轉動冠量為I=mh2

 

 

前面有網友胡亂解ODE,不說你是誰了 自己想看看哪理解錯了? 還是有背答案的嫌疑? 考物理所不可能會讓你寫背出來的答案



[ 這篇文章被編輯過: Hydrogen Dioxide 在 2007-02-24 02:40:01 ]
53:Hydrogen Dioxide(大學理工科系)張貼:2007-02-25 03:03:34:地點 台灣高雄 [回應第3篇]

Quote:
在 2003-12-07 17:37:00, phyc 寫了: 先推小角度, τ=I?=> L*mg*sinθ=m(L^2)*(θ") => ∵when θ→0 , sinθ≒θ ∴gθ=L(θ") 解微分方程 (過程請參考Boas著Mathematical Methods in the Physical Sciences) 可得一特解θ=A*cos[(g/L)^(1/2)t] cos(x)的週期是2π => 2π=[(g/L)^(1/2)]*T => T=2π[(L/g)^(1/2)] 大角度待續,..

1.首先你還是弄錯了,

單擺運動是SHM, 以mx"+kx=0對照下 有 Iθ"+mgxθ=0(θ很小下 則執行SHM因而sinθ≒θ) 依據二階線性ODE的通解特性因此得角頻率ω=√mgx/I將I以I=mx2代換可得振盪角頻率為ω=√g/x並非拿特解(即你所謂的θ=A*cos[(g/L)^(1/2)t]) 作2π=[(g/L)^(1/2)]*T的轉換 因該線性ODE等號右邊並無外加驅動力(其值事實上是0) 哪來的特解? 前提錯誤後續所推的東西都只是不合物理而已!

2.將所獲得得振盪角頻率ω=√g/x以T=2π/ω可獲得單穠熄g期應為T=2π√x/g (此處不應該以L作符號 因單礎陴o涉到轉動慣量 如此容易想到角動量L 已經有符號上混淆的趨勢了 並不宜在ODE中再使用L)

 

解物理問題必須選對所欲使用的數學工具否則推再多都只是在賣弄數學!

Quote:
在 2003-12-09 22:05:00, littlecan 寫了:

嗯........小角度的sin值的確接近原來角度數值...........這樣就成為整係數微分方程。但是如果是大角度ㄉ話,sinθ不等於θ,從而方程成為如下:L*(θ'')=-g*sinθ  這樣的話,θ前面有討厭的sin,連用拉普拉斯變換都有問題ㄟ.................怎麼辦哩.............


L{sinθ}=1/(s22)  而L{d2θ/dt2}=s2Θ(s)-sΘ'(s)-θ"(0)

請查拉普拉斯轉換表有更完整的陳述!



[ 這篇文章被編輯過: Hydrogen Dioxide 在 2007-02-26 01:15:22 ]
54:天泣榮譽點數39點(大學理工科系)張貼:2008-01-20 17:23:54:地點 台灣台北 [回應上一篇] ,本留言獲[]給賞金共 3 點

Quote:

在 2007-02-25 03:03:34, Hydrogen Dioxide 寫了:

Quote:
在 2003-12-07 17:37:00, phyc 寫了: 先推小角度, τ=I?=> L*mg*sinθ=m(L^2)*(θ") => ∵when θ→0 , sinθ≒θ ∴gθ=L(θ") 解微分方程 (過程請參考Boas著Mathematical Methods in the Physical Sciences) 可得一特解θ=A*cos[(g/L)^(1/2)t] cos(x)的週期是2π => 2π=[(g/L)^(1/2)]*T => T=2π[(L/g)^(1/2)] 大角度待續,..

1.首先你還是弄錯了,


單擺運動是SHM, 以mx"+kx=0對照下 有 Iθ"+mgxθ=0(θ很小下 則執行SHM因而sinθ≒θ) 依據二階線性ODE的通解特性因此得角頻率ω=√mgx/I將I以I=mx2代換可得振盪角頻率為ω=√g/x並非拿特解(即你所謂的θ=A*cos[(g/L)^(1/2)t]) 作2π=[(g/L)^(1/2)]*T的轉換 因該線性ODE等號右邊並無外加驅動力(其值事實上是0) 哪來的特解? 前提錯誤後續所推的東西都只是不合物理而已!


2.將所獲得得振盪角頻率ω=√g/x以T=2π/ω可獲得單穠熄g期應為T=2π√x/g (此處不應該以L作符號 因單礎陴o涉到轉動慣量 如此容易想到角動量L 已經有符號上混淆的趨勢了 並不宜在ODE中再使用L)


 


解物理問題必須選對所欲使用的數學工具否則推再多都只是在賣弄數學!

Quote:
在 2003-12-09 22:05:00, littlecan 寫了:

嗯........小角度的sin值的確接近原來角度數值...........這樣就成為整係數微分方程。但是如果是大角度ㄉ話,sinθ不等於θ,從而方程成為如下:L*(θ'')=-g*sinθ 這樣的話,θ前面有討厭的sin,連用拉普拉斯變換都有問題ㄟ.................怎麼辦哩.............



L{sinθ}=1/(s22) 而L{d2θ/dt2}=s2Θ(s)-sΘ'(s)-θ"(0)


請查拉普拉斯轉換表有更完整的陳述!



[ 這篇文章被編輯過: Hydrogen Dioxide 在 2007-02-26 01:15:22 ]



phyc的方法是對的
我想是你搞錯了

單擺的運動並不是SHM
只是在小角度的情形下近似SHM
所以在角度不大的情形下 可以把單擺的運動當SHM
所以列出那一個微分方程

至於phyc所寫的特解 你也誤會了
那一個微分方程式 因為是一個二階的線性微分方程
所以一般解有兩個任意常數
他所給出的特解是在某個初始條件下的解
不是 particular solution



Quote:

在 2003-12-07 16:35:00, littlecan 寫了:
我是國三ㄉ學生,正在上單擺那個部分,老師補充了單擺週期公式T= \frac{\theta}{\alpha+\beta} 但是我不知道為什麼........還有,老師也說,其實大角度的單擺運動週期公式後面還有一長串的三角函數(好像是sin),可否請熟物理的朋友替我推導公式ㄋ??(用三角函數沒關係,我看得懂)



單擺在任意角度時的周期公式
不是懂三角函數就夠了

要能完整推導出來 就必須要會解微分方程
方法是這樣的
根據牛頓運動定律
寫下單擺所滿足的方程式
這個步驟不難 它是 d2θ/dt2=- (g/L) sinθ

讓我們來看一下這個微分方程式
很不幸的 它是一個非線性的微分方程式
對於非線性的微分方程式 我們幾乎都不會解 (沒辦法給出一個解析解)
只能去利用數值分析給出數值解

但幸運(這個微分方程式有一個特色 這個特色就是我們可以解開它的緣故 )的是
這道式子已經有前人研究出要怎麼解了
解的過程中 還會遇到一個積分 那個積分就是所謂的橢圓函數
解出來的周期就必須要以橢圓函數來表示
我們可以對這個解作級數展開 它有很多很多項 而它的第一項是
T=2π√(L/g)

這一項是有其物理意義的
讓我們回頭來看看單擺滿足的運動方程式
d2θ/dt2=- (g/L) sinθ
當角度
θ不大的時候 θ很接近sinθ
也就是說 如果單擺所做的擺動的角度
θ不大的時候
我們做了一個近似 sinθ 換成 θ
這時候 方程式就變成了
d2θ/dt2=- (g/L) θ
它是一個線性的微分方程式 這是很好解 不過這只是數學上的意義
更重要的是 它跟簡諧運動所滿足的微分方程式一模一樣 (只是對應的符號不同)
因此單擺的運動是近似簡諧運動的
它的周期自然也能以簡諧運動周期的公式去近似

這不難理解 因為當單擺的運動的角度相當小時

粗略的來看 它就近似於在一直線上往復運動
而它在一直線上往復運動所滿足的關係又滿足簡諧運動的定義

為什麼會說小角度時 單擺的運動近似簡諧運動
原因就是上述那一段黑色的字



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