國立台灣師範大學物理系 物理教學示範實驗教室(網站) 物理問題討論區 (黃福坤)
我們也針對科學教學建立開課系統:科學園,讓老師更方便運用網路科技輔助教學,歡迎教師多加利用! 中學物理(維基)
(學習物理不只是know HOW 更重要的是 know WHY, 歡迎參考聞名全球的物理動畫, 英文網頁NTNUJAVA以動畫為主) 新聞 報導白話物理
關鍵詞 最近 物理名詞中英檢索 無法登入或系統功能不正常回報
討論區首頁 >>物理課程相關問題(分成國中/高中/大學等區) >>大學物理相關內容討論>>大角度單擺
本區 註冊登入 者方可留言
本討論串由 honda 設定狀態為:問題已經圓滿解決
力學 標題:大角度單擺
1:談亦云 (高中職)張貼:2002-12-14 18:21:00:
擺角大於5度的單擺,
該如何算周期呢?
2:Fychang (研究所)張貼:2002-12-14 23:52:00: [回應上一篇]
Quote:

在 2002-12-14 18:21, 談亦云 寫了:
擺角大於5度的單擺,
該如何算周期呢?



就實際去解微分方程式,不過,其實好像不會差多少
3:黃福坤(研究所)張貼:2002-12-31 13:57:00: [回應上一篇]
Quote:
在 2002-12-14 18:21, 談亦云 寫了: 擺角大於5度的單擺, 該如何算周期呢?

可以參考本網站的動畫 可以實驗出各種角度的週期 有必要特別選5度嗎??? 推導時可知 原本是 $\frac{d\theta}{d t}= -\frac{g}{L} sin\theta#width=97&height=51$ 將其近似為 $\frac{d\theta}{d t}= -\frac{g}{L} \theta#width=74&height=51$ 兩者的誤差可估算如下 $sin\theta = \theta -\frac{1}{3!}\theta^3+\frac{1}{5!}\theta^2-...#width=181&height=51$ 因此取進似時 相對誤差 $\Delta = \frac{1}{3!}\theta^3/ \theta= \frac{\theta^2}{6}#width=186&height=62$ 5度對應的 $\theta=5*3.14159/180#width=152&height=28$約為$5/60=1/12#width=96&height=28$ 因此所造成誤差約為 $\Delta= \frac{1}{6*12*12}=\frac{1}{6*144}#width=163&height=51$ 將進0.1% (千分之一) 其實 20度內誤差也不過增加為$16*\Delta#width=47&height=28$約$\frac{1}{6*3*3}=\frac{1}{54}#width=87&height=51$ 在2%範圍內 因此一般單擺都很接近理想單擺 不知道是哪個人開始說 角度要5度以內 角度幾度要看實驗精密度要求為何? 2%誤差範圍內 20度擺角仍是很好的近似! 至於詳細的推導 大二的物理課程會以類似上述方式以多項式分別處理綜合而得
4:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2002-12-31 18:31:00: [回應上一篇]
Quote:

在 2002-12-14 18:21, 談亦云 寫了:
擺角大於5度的單擺,
該如何算周期呢?


參考書上寫說一定要在5度之內
而這是否是因為超過該角度後會受到〔重力加速度〕的影響呢?不得而知了.
5:黃福坤 (研究所)張貼:2002-12-31 19:32:00: [回應上一篇]
沒有重力場就不是單擺了
除非參考書中有說明為何一定要在5度之內
否則我只能說它可能只是抄來的結論 作者(算作者嗎? 還是編者而已)自己也沒搞清楚

6:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-01-01 00:51:00: [回應上一篇]
Quote:

在 2002-12-31 19:32, 黃福坤 寫了:
沒有重力場就不是單擺了
除非參考書中有說明為何一定要在5度之內
否則我只能說它可能只是抄來的結論 作者(算作者嗎? 還是編者而已)自己也沒搞清楚



找到線索了
在〔銓達文教〕出版的參考書中
我看到如下的敘述:

在〔小角度〕的單擺運動中,可視為擺錘進行〔簡諧運動〕.利用重力在軌跡方向的切線分力$mgsin{\theta}#width=60&height=28$作為簡諧運動的〔恢復力〕,因而找出簡諧運動的k值

我在想,是不是因為角度太大以致於擺錘沒有〔恢復力〕的現象?(我的意思是說它不能作簡諧運動假如缺乏恢復力的話)
7:黃福坤 (研究所)張貼:2003-01-07 13:54:00: [回應上一篇]
你還是沒有弄清楚 我的意思 可能你腦中對於單擺的實驗情景 還未思考清楚!
不過擺角多少 重力都提供單擺的恢復力 (可參考本網站單擺的動畫)
單擺所受的力矩 $\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{r}\times(m\vec{g})#width=127&height=36$
於是可算出 $\tau= mgL sin\theta#width=94&height=28$
配合 $\tau = I \alpha = (mL^2) \frac{d\theta}{d t}#width=128&height=51$
因此得到
$\frac{d\theta}{d t}= -\frac{g}{L} sin\theta#width=97&height=51$
滿足下式才符合簡諧運動的關係式
$\frac{d\theta}{d t}= -\frac{g}{L} \theta#width=74&height=51$
將 $\sin\theta #width=35&height=28$ 近似為 $\theta#width=100&height=28$ 將會造成誤差
即使 20度的擺角其所造成百分誤差 也不超過 2%
除非誤差要求 小於0.2% 才需要擺角小於5度

擺角需要小於多少 應該配合實驗所要求的精密度
當有限制條件時 應該都是配合對應的條件
一般書籍如上的寫法 經常讓學生做實驗時 發覺誤差超過預期時(例如 5%的誤差) 都歸罪於擺角過大
其實20度擺角 所造成誤差也不過2% 因此實際上有更重要的誤差被忽略了!

一般參考書沒有寫 怎樣的精密度要求下 就寫角度需小於5度 我相信寫該書的人可能根本就是從另一本書抄過來 自己也不知道緣由 結果同學們也跟著背
8:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-01-07 19:43:00: [回應上一篇]
以下是我讀經〔物質科學物理篇上〕的片段:(龍騰版教科書,緒德三教授主編)

.........今將mg分解成相互垂直的兩分力:沿擺線方向的分力$mgcos{\theta}#width=63&height=28$與路徑切線方向的分力$mgsin{\theta}#width=60&height=28$
擺線方向的合力:$T-mgcos{\theta}#width=84&height=28$,供給擺錘作圓周運動所需的向心力
而擺錘路徑切線方向的分力即為提供擺錘擺回平衡點(即$\theta=0#width=37&height=28$處)的恢復力
路徑切線方向的力為

$F_s=-mgsin{\theta}=-mg{\frac{d}{L}}#width=166&height=51$

當${\theta}#width=100&height=28$很小時,$sin{\theta}{\approx}{\theta}#width=65&height=28$(一般而言${\theta}{\le}5^o#width=50&height=41$),設s為圓弧運動的路徑弧長,此時$d{\approx}s#width=38&height=28$在此條件下,上式可簡化成

$F_s=-\frac{mgs}{L}=-ks#width=119&height=51$

這就是簡諧運動的標準運動方程式
式中k=mg/L,這正說明了〔單擺在擺角很小的條件下,它將對$\theta=0#width=37&height=28$的平衡點作簡諧運動〕

*************************************************

以下是我的疑問:

〔1〕

$F_s=-mgsin{\theta}=-mg{\frac{d}{L}}#width=166&height=51$式子中,為什麼$mgsin{\theta}#width=60&height=28$的前面要冠上"負號"??

〔2〕

為什麼說〔當${\theta}#width=100&height=28$很小時,$sin{\theta}{\approx}{\theta}#width=65&height=28$(一般而言${\theta}{\le}5^o#width=50&height=41$),設s為圓弧運動的路徑弧長,此時$d{\approx}s#width=38&height=28$在此條件下〕在此情況下就可以得簡化式

$F_s=-\frac{mgs}{L}=-ks#width=119&height=51$

????

http://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=3450&forum=27&6

[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2003-01-12 20:38 ]
9:奇襲 (高中職)張貼:2003-01-14 09:14:00: [回應上一篇]
狄卡爾:

我們用<5度代表的只是為了求單擺的週期
而把單擺週期視為shm
如此一來
繩極大 擺角極小
誤差值也就更小了


10:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-01-14 11:33:00: [回應上一篇]

那$F_s=-mgsin{\theta}=-mg{\frac{d}{L}}#width=166&height=51$式子中,為什麼$mgsin{\theta}#width=60&height=28$的前面要冠上"負號"??
11:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-16 09:45:00: [回應上一篇]

Quote:
在 2002-12-14 18:21, 談亦云 寫了:

擺角大於5度的單擺,該如何算周期呢?


傅立葉級數的概念  可推測擺角在約7度之內的單擺 才能利用一般高中課本上的公式$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}#width=71&height=54$計算之 ; 超過7度的計算方式 要參閱升研究所的書 我現在手邊沒有那本書 改天有空再貼上計算公式


12:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-17 16:58:00: [回應上一篇]

Quote:
在 2003-01-14 09:14, 奇襲 寫了:

狄卡爾: 我們用<5度代表的只是為了求單擺的週期而把單擺週期視為shm 如此一來繩極大 擺角極小誤差值也就更小了


我認為不是誤差值大小的問題,而是〔幾度之內才能穩定下來?〕,且〔角度本身不再蛻減.〕

Fourier級數可解決週期函數的問題,我推算的結果在約7o之內可成簡諧.有興趣知道的網友,可跟我講,我再po出文章.


13:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-17 17:01:00: [回應上一篇]
是指〔單擺掃過的角度本身不再蛻減〕.
14:黃福坤 (研究所)張貼:2003-12-18 16:20:00: [回應上一篇]
Quote:

在 2003-12-17 16:58, 狄卡爾 寫了:

我認為不是誤差值大小的問題,而是〔幾度之內才能穩定下來?〕,且〔角度本身不再蛻減.〕

Fourier級數可解決週期函數的問題,我推算的結果在約7o之內可成簡諧.有興趣知道的網友,可跟我講,我再po出文章.




太扯了吧!
單擺原本就是穩定平衡系統
是否會穩定下來和角度無關
能量逐漸損耗 和角度不相關吧!
若在真空中 且支點無摩擦損耗 則不管怎樣擺角都不會減少(能量守恆條件下)!
15:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-18 19:58:00: [回應上一篇]
我認為把其他的如空氣阻力與支點的摩擦力等考慮進來,角度會有蛻減的現象,角度蛻減的〔程度〕與阻力摩擦力的〔大小〕無關(因為單擺的運動現象呈左右對稱).用傅利葉級數可計算出當蛻減到7.07...o之後即不再蛻減,穩定下來.
16:黃福坤 (研究所)張貼:2003-12-19 10:02:00: [回應上一篇]
Quote:

在 2003-12-18 19:58, 狄卡爾 寫了:
我認為把其他的如空氣阻力與支點的摩擦力等考慮進來,角度會有蛻減的現象,角度蛻減的〔程度〕與阻力摩擦力的〔大小〕無關(因為單擺的運動現象呈左右對稱).用傅利葉級數可計算出當蛻減到7.07...o之後即不再蛻減,穩定下來.


角度蛻減的〔程度〕與阻力摩擦力的〔大小〕無關 似乎和物理定律牴觸!
還多了個 magic number
17:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-19 19:17:00: [回應上一篇]

單擺不是S.H.M
這對任何角度都一樣

回溯一下S.H.M的基本定義吧!
18:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-19 20:10:00: [回應上一篇]

回複力由simple pendulum的重量提供,其中回複力矩為$\vec{\tau}=L {\times} m\vec{g}#width=73&height=36$

有回複力矩存在,應該就是簡諧運動.

或許有些觀點(書)認為有回複力矩者,不見得是簡諧運動.這個〔爭議〕性的問題好比光有沒有質量一樣,兩種版本都可以算對.



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2003-12-19 20:11 ]
19:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-19 22:15:00: [回應上一篇]
是哪個版本說
只要有受恢復力
就是簡諧運動
?
20:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-19 22:35:00: [回應上一篇]

Cutnell物理學上冊 P.374 :

當回複力具F=-kx之數學形式時,...之無摩擦運動命名為〔簡諧運動〕.


21:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-19 22:56:00: [回應上一篇]

Quote:
在 2003-12-19 19:17, phyc 寫了:

單擺不是S.H.M 這對任何角度都一樣 回溯一下S.H.M的基本定義吧!


小角度的時候可以視作簡諧運動.

我覺得不用太計較它到底〔是否〕為簡諧,只要近似的條件出現,就可以當作簡諧運動來處理.

就好像我們其實都要用狹義相對論來分析運動狀態,但是速度跟光速比起來很小的時候,需要自找麻煩嗎?我想是不用的,因為牛頓力學就夠我們用了.

若以rad為單位 $s=R\theta#width=45&height=28$

在$\theta#width=100&height=28$很小的情況下 $L{\approx}R\theta#width=50&height=28$

重力所產生的力矩為 $\tau {\approx} -mgR{\theta}#width=87&height=28$

其中mgR這一項為獨立於$\theta#width=100&height=28$的一常數值k'

〔對於很小的角度〕使單擺回復至其鉛直平衡位置之力矩 正比於角位移$\theta#width=100&height=28$

表示式$\tau=-k' \theta#width=61&height=28$,與彈簧上一質點的虎克定律回復力F=-kx具有相同的形式.所以單擺在小角度的情況下,具有簡諧運動的形式.而非:任意角度的情況下都有簡諧運動的形式(推測應與誤差值無關),也非:任意角度的情況下均不是簡諧運動.

至於〔小角度〕的極大值理論上可利用傅利葉級數導出.


22:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-19 22:59:00: [回應上一篇]

Cutnell物理學上冊 P.374 :

當回複力具F=-kx之數學形式時,...之無摩擦運動命名為〔簡諧運動〕.



這就對了
只有F=-kx才是簡諧運動
而非所有的恢復力都算
23:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-19 23:15:00: [回應上一篇]

沒有所謂極大值的存在
只要不受阻力
力學能守恆就會成立

最大位移決定於邊界值
或說初始值

你既然要討論近似
就必須考慮到誤差範圍
因為他本來就不是簡諧運動

這樣去談何種角度下適當才有意義
24:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-20 13:55:00: [回應上一篇]

Quote:
在 2003-12-19 23:15, phyc 寫了:

沒有所謂極大值的存在只要不受阻力力學能守恆就會成立


這是不可能的,因為單擺的支點與擺繩間一定會有接觸(因為是在重力的環境中,彼此間一定有接觸,在摩擦係數不為零的情況下,彼此間的摩擦力一定存在;如果不存在,不可能有擺動的情形發生),所以一定會有阻力.



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2003-12-20 13:56 ]
25:黃福坤 (研究所)張貼:2003-12-20 14:50:00: [回應上一篇]
Quote:

在 2003-12-20 13:55, 狄卡爾 寫了:
在摩擦係數不為零的情況下,彼此間的摩擦力一定存在;如果不存在,不可能有擺動的情形發生)


摩擦力不存在 還是可以有擺動 (沒有物理定律限制不可以!)

單擺的支點可以做成不是一個點 而是一個圈 雖然有摩擦但是可以讓彼此間為靜摩擦(類似純滾動) 就可以將阻力減到很小!
26:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-20 15:35:00: [回應上一篇]

Quote:
在 2003-12-19 23:15, phyc 寫了:

你既然要討論近似就必須考慮到誤差範圍因為他本來就不是簡諧運動 這樣去談何種角度下適當才有意義




27:黃福坤 (研究所)張貼:2003-12-20 15:48:00: [回應上一篇]
當單擺小幅度擺動 sinθ可近似為 θ時 便滿足簡諧運動的類似關係
F=-kx
與 初速度完全無關
若是實驗精密到可偵測 sinθ近似為 θ時所導致誤差 則單擺不在是簡諧運動
但是20度擺角 也不過造成約2%的誤差 因此一般而言是很好的近似!

註: 狄卡爾網友經常提出很多和目前物理不一致見解 本網站無法一一提出正確回應 請網友瀏覽時自行過濾!
28:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-20 15:54:00: [回應上一篇]

Quote:
在 2003-12-20 15:48, 黃福坤 寫了:

若是實驗精密到可偵測 sinθ近似為 θ時所導致誤差 則單擺不在是簡諧運動但是20度擺角 也不過造成約2%的誤差 因此一般而言是很好的近似!


我一直想不通,為何你之前要用泰勒展開式計算sinθ的近似值?


29:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-20 15:56:00: [回應上一篇]

Quote:
在 2003-12-20 15:48, 黃福坤 寫了:

註: 狄卡爾網友經常提出很多和目前物理不一致見解 本網站無法一一提出正確回應 請網友瀏覽時自行過濾!


這是不是說,提出與正統不一致的見解就是不好呢?


30:黃福坤 (研究所)張貼:2003-12-20 16:26:00: [回應上一篇]
Quote:

在 2003-12-20 15:54, 狄卡爾 寫了:

我一直想不通,為何你之前要用泰勒展開式計算sinθ的近似值?




就是為了估計 近似所造成的誤差

Quote:

在 2003-12-20 15:56, 狄卡爾 寫了:

這是不是說,提出與正統不一致的見解就是不好呢?




你所提出來的 有很多是會造成初學者誤解的錯誤概念
且很多似乎是你並未深思過後的想法(因此你經常改變說法 前後相互矛盾)
但是你用詞都是很肯定 且經常長篇大論 容易造成出來本討論區網友誤解
本網站不願意因此造成一些網友學習上的困擾
但是也無暇針對你的言論 一一澄清
因此必須提出提醒 以免造成誤解

如果表達你個人特殊的觀點 請盡量使用 其他為你開設的專區
(非課程相關物理問題/非物理相關問題...等) 謝謝!
31:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-20 16:47:00: [回應上一篇]

Quote:

你所提出來的 有很多是會造成初學者誤解的錯誤概念
且很多似乎是你並未深思過後的想法(因此你經常改變說法 前後相互矛盾)
但是你用詞都是很肯定 且經常長篇大論 容易造成出來本討論區網友誤解


原來是這樣 那麼以後我改進一下語氣不要太肯定 不然就是深思過後再發言好了

 


32:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-20 16:57:00: [回應上一篇]

Quote:
在 2003-12-20 15:48, 黃福坤 寫了:

當單擺小幅度擺動 sinθ可近似為 θ時 便滿足簡諧運動的類似關係 F=-kx 與 初速度完全無關


圖中的$\vec{a}#width=100&height=36$及$\vec{V}#width=100&height=36$方向相同,所以之前我認為當單擺掃過nA=A的時候,不是簡諧運動(因為它不是變加速運動).也才會認為初速可忽略.不知道是不是能成立??? 


33:黃福坤 (研究所)張貼:2003-12-21 12:57:00: [回應上一篇]

滿足 F=-kx 作用力與位移成正比 類似關係的稱為簡諧運動

當 sinθ 近似為θ時 ,單擺也滿足類似關係

上圖中 若單擺於右邊時 初速度不為零 則左邊最大擺角會更大些

另外看不懂你畫圖中 a>0, v>0 的意義


34:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-21 14:29:00: [回應上一篇]

我有另一種想法,認為應該用極限求解單擺作簡諧運動時的角度極值

當角度很小的時候, $sin\theta {\rightarrow} \theta#width=68&height=28$ , 即$\frac{sin\theta}{\theta} {\approx} 1#width=64&height=51$ , 有式子

$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}*\frac{sin \theta}{\theta}#width=115&height=54$

上式中的擺角$\theta#width=100&height=28$若趨近於0 , 則可將此方程改寫成

$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}*\lim_{\theta {\rightarrow} 0} \frac{sin \theta}{\theta}#width=153&height=62$

因為以上為為不定型$\frac{0}{0}#width=100&height=51$ 故可用羅必達解$\lim_{{\theta} {\rightarrow} 0} \frac{sin \theta}{\theta}#width=73&height=59$ 得$\lim_{{\theta} {\rightarrow} 0} \frac{sin \theta}{\theta}=\lim_{{\theta} {\rightarrow} 0} \frac{\frac{d}{d\theta}sin \theta}{\frac{d}{d\theta}\theta}=\lim_{\theta {\rightarrow} 0}cos{\theta}=1#width=291&height=89$

因此當單擺符合簡諧運動的形式時應該有式子

$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}*\lim_{\theta {\rightarrow} 0} cos\theta=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}#width=216&height=62$

如果將角度個別代入,應該會發現在18o以下的角度才可以用高中課本中的式子求解T(若要求精確到小數點以下第二位...)

cos18o=0.95...$\approx 1#width=30&height=28$

cos19o=0.94...$\approx 0.9#width=45&height=28$

至於之前我說過的傅利葉級數,可能是另一種情況,或者根本是錯誤的,我想等到下學期真正學到工程數學的時候,再研究看看好了...

圖中的a>0,V>0主要是表達兩者的方向相同,此時不是作變加速運動,因此n=1,3,5,7,..的時候不作簡諧運動,在傅利葉級數上的係數項為n'=n+1=2,4,6,8... 即係數值an=0

[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2003-12-21 16:13 ]



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2003-12-21 16:49 ]
35:黃福坤(研究所)張貼:2003-12-23 12:43:00: [回應上一篇]
不能因為 當角度很小的時候, $sin\theta {\rightarrow} \theta#width=68&height=28$ 就將 $T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}#width=71&height=54$ 寫成 $T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}*\frac{sin \theta}{\theta}#width=115&height=54$ 因為根本不是 $\frac{d\theta}{dt}=-\frac{g}{l} \theta#width=74&height=51$的解 你先假設該式僅在極小角度成立 卻又用該式在大角度的方式去求限制條件 該式在大角度原本就不成立 因此推論條件也不成立 真不知道你為何會有如此邏輯不通的推論
36:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-23 21:09:00: [回應上一篇]

每本書都提到"小角度"下的單擺運動才是簡諧運動(連原文書都如此寫),但是什麼是"小角度"?人云亦云.每個人都可以有自己的版本,有的人說5度,有的說10度,有的說20度...,沒有一定的標準.

所以你說的:我先假設該式在小角度的時候成立,卻又用該式在大角度的方式去求限制條件,該式在大角度本來就不成立....

之中的大小之分是沒有多大的意義,因為沒有指定特定的參考點,也就是相對於什麼樣的角度才是小角?相對於什麼樣的角度才是大角?

Quote:

不能因為 當角度很小的時候, $sin\theta {\rightarrow} \theta#width=68&height=28$ 就將 $T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}#width=71&height=54$ 寫成 $T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}*\frac{sin \theta}{\theta}#width=115&height=54$ 因為根本不是 $\frac{d\theta}{dt}=-\frac{g}{l} \theta#width=74&height=51$的解


我在國內一本物理書籍閱讀到以下的式子,才有一系列的式子推導:

$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}*[1+\frac{1^2}{2^2}sin^{2}(\frac{\theta}{2})+\frac{1^2}{2^2}*\frac{3^2}{4^2}sin^{4}(\frac{\theta}{2})+...]#width=349&height=72$

如果角度很小的時候,上面的式子趨近於$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}#width=71&height=54$,符合簡諧運動的形式.(之前我列的式子等,都與該書的說法無異)

至於到底是多少度才符合簡諧運動,必須要看需精確到小數點下第幾位.(也就是標定一個參考點)

把角度利用三角函數處理可以得到輪廓較清楚的一個數值,才好做相對比較(和式子中的首項1作比較)


37:黃福坤 (研究所)張貼:2003-12-24 08:49:00: [回應上一篇]
1. 感覺你似乎並未仔細看別人的回應
我之前的留言便是提到 要先確定可容忍的誤差範圍 然後才能確定小角度(誤差小於容忍值可忽略)的定義.(也提出利用百分誤差的方式去處理,希望其他網友能體會其意義)

2. 再則明明知道 是自己隨便創的公式 卻還是要在大小角度上辯解 不肯承認錯誤 (那就不清楚之前留言推導的限制條件意義為何?前後又自相矛盾). 為了擔心你的留言造成其他網友誤解,因此才回應.但是卻持續引起更多不合邏輯的內容.(大二的古典力學教科書就會有完整展開後的推導結果) 針對本問題 只好言盡於此!

38:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-24 09:19:00: [回應上一篇]

我很好奇喔 如果後面有其他網友支持我的論點 而假設這個人的學歷很高 不知道"我誤導別人"的假設還能不能成立???

ps:我從不"隨便"創造公式 因為那將違反"公"式的基本定義

ps:把sinX用泰勒級數展開的"物理意義"是啥???

剛修改隨便為"隨便"



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2003-12-24 09:21 ]
39:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-24 10:14:00: [回應上一篇]

Quote:
在 2003-12-18 16:20, 黃福坤 寫了:

單擺原本就是穩定平衡系統是否會穩定下來和角度無關能量逐漸損耗 和角度不相關吧! 若在真空中 且支點無摩擦損耗 則不管怎樣擺角都不會減少(能量守恆條件下)!


以下不討論單擺 但引用單擺的附加問題作其他的延伸

Benson物理課本有提到Damped Oscalision(希望沒有拼錯字) 此為蛻變振盪 譬如考律能量耗損的時候 常用它

日常生活最明顯例子 如盪鞦韆就是蛻變振盪

形式與之前提到的$V=V_{0}e^{-kt}#width=77&height=49$很像

它的形式為$A(t)=A_{0}(t)e^{-kt}#width=115&height=49$ 還有另一個 : ...=(sin...+...w)

A代表振幅 (k的意義我忘了 手邊沒有那本書 有空補上k和另一個 )

先說盜這裡!!



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2003-12-24 10:18 ]
40:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-24 10:20:00: [回應上一篇]

Quote:
在 2003-12-24 08:49, 黃福坤 寫了:

感覺你似乎並未仔細看別人的回應 我之前的留言便是提到 要先確定可容忍的誤差範圍 然後才能確定小角度(誤差小於容忍值可忽略)的定義.(也提出利用百分誤差的方式去處理,希望其他網友能體會其意義) 


我無法接受這種觀點呀!!!

[以下為編輯後文章(補充以上)]

我覺得你(以及你所參考的書本)利用泰勒級數估計近似值的最大漏洞在於"在獨立事件中找機率" 我認為這樣違反宏觀物理學!

你之前說的 都是在單獨觀察下的誤差 而不是觀察一連串整體多次的實驗誤差 所以刻意去求單獨事件中的誤差百分比 已經違反物理學的實證精神!



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2003-12-24 10:48 ]
41:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-24 19:43:00: [回應上一篇]

Quote:
在 2003-12-24 08:49, 黃福坤 寫了:

明明知道 是自己隨便創的公式 卻還是要在大小角度上辯解 不肯承認錯誤 (那就不清楚之前留言推導的限制條件意義為何?前後又自相矛盾). 為了擔心你的留言造成其他網友誤解,因此才回應.但是卻持續引起更多不合邏輯的內容.(大二的古典力學教科書就會有完整展開後的推導結果) 針對本問題 只好言盡於此!


重新回覆一次

學理工的人本來就要學會自我判斷,如果不會判斷,或許轉社會組才對.我只覺得你太保護其他網友的做法只會害了他們.(讓他們更依賴老師作註解)

我的時間有限,這種問題是有興趣才會深入,我最近考試連連,但是花很多時間在思索這種問題,希望換來的不是冷水.如果因為這種課外問題(技職體系物理上得不多,考試不考這)而影響我升研究所,我會從中作一抉擇.

*********************************

不是亂創公式,有很多紙上的推導,但是時間不夠用,再加上討論熱度降低,所以我不便多作文章,擷取重要的張貼如下:

若把角度當成變量,且考慮百分率誤差${\mid}1-\frac{sin\theta}{\theta}{\mid}#width=74&height=51$則

$T=\int_{\frac{\pi}{2}}^0 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}(-sin \theta)d\theta=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}cos\theta \mid_{\frac{\pi}{2}}^0=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}#width=341&height=97$

[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2003-12-24 19:44 ] [ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2003-12-24 19:54 ] [ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2003-12-24 19:55 ]

[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2003-12-24 19:58 ]
42:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-25 11:16:00: [回應上一篇]

不懂你對角度作積分有什麼意義

你從一開始就弄錯了
如果書上是這麼寫的
建議你先確定你有沒有誤解書上的意思

如果你有親自解微分方程
應該不會有這些問題

就算不解微分方程
泰勒展開式也可以查到來作近似

我們也沒有那麼多時間一一指出你的所有錯誤
所以建議你親自去弄清楚自己的問題
這樣對交流比較有效率

在推論的嚴謹度上
起碼就這個討論主題
我覺得有一大段進步的空間

我想你沒有在每個步驟與過程仔細的檢查你吸收到的知識的正確性


43:FreeZ榮譽點數45點 (大學理工科系)張貼:2003-12-25 12:14:00: [回應上一篇]
Quote:
Benson物理課本有提到Damped Oscalision(希望沒有拼錯字) 此為蛻變振盪 譬如考律能量耗損的時候 常用它


Damped Oscillation 阻尼式振盪.
http://www.cmt.phys.kyushu-u.ac.jp/~M.Sakurai/phys/physmath/decrease-e.html

阻尼式簡諧振動 Damped Simple Harmonic Motion
http://wwwphys.cycu.edu.tw/~choucl/GPhysics/gen_phys/damp.php

[ 這篇文章被編輯過: FreeZ 在 2003-12-25 12:15 ]
44:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-25 16:36:00: [回應上一篇]
Quote:
在 2003-12-25 11:16, phyc 寫了:

不懂你對角度作積分有什麼意義

你從一開始就弄錯了如果書上是這麼寫的建議你先確定你有沒有誤解書上的意思

如果你有親自解微分方程應該不會有這些問題

就算不解微分方程泰勒展開式也可以查到來作近似


相同的道理 我也不懂為何要把sin$\theta#width=100&height=28$做泰勒展開 至少說明一下物理意義為何?

彼端一直存在兩種相互矛盾的想法 實在不能接受 彼端一方面認為"單擺本來就不是簡諧運動" 另一方面又聲稱需要利用微分方程解題

要利用微分方程的前提 必須是"單擺恆為簡諧運動" 

(簡諧運動有方程 X=B*sin$\omega#width=100&height=28$t+C*cos$\omega#width=100&height=28$t 找邊界條件才能決定B,C的值 但是單擺在sin$\theta {\rightarrow} \theta#width=45&height=28$之外的情況並不是簡諧運動 所以不能把微分方程拿來亂用)彼端一直讓兩互不相容的條件交雜使用 當然會被人質疑

彼端聲稱 : "泰勒級數展開正弦函數 得誤差值" 這種誤差值似乎沒有意義 因為任何實驗一定會有誤差 永遠不存在完全精準的實驗 黃老師用那種方法最後說"即使是20度也仍是很好的近似" 一堆泰勒級數所估計的誤差 數值都那麼小 任何人都可以憑自己主觀的意見說"幾度之內也仍是很好的近似" 這樣子符合實證精神嗎?

彼端若利用微分方程解單擺在sin$\theta {\rightarrow} \theta#width=45&height=28$的情況,絕對正確,因為條件相符;但是彼端認為的,若在sin$\theta {\rightarrow} \theta#width=45&height=28$之外的情況套用微分方程去解可得"不會相差多少的結論",似乎是錯誤的結論,若條件不符時就不可亂用微分方程.



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2003-12-25 17:25 ]
45:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-26 17:48:00: [回應上一篇]

解微分方程只是一個數學推理的過程
跟單擺屬於何種運動沒有關係
所以不會有什麼矛盾

誰告訴你微分方程只能拿來解S.H.M??


46:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-26 17:51:00: [回應上一篇]
泰勒展開式裡可以發現
自變數愈小
愈後頭的項值就愈小
所以可以忽略後頭的項
作為原式的近似式


[ 這篇文章被編輯過: phyc 在 2003-12-26 17:52 ]
47:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-26 18:32:00: [回應上一篇]
Quote:
在 2003-12-26 17:48, phyc 寫了:

解微分方程只是一個數學推理的過程跟單擺屬於何種運動沒有關係所以不會有什麼矛盾


你似乎沒有看清楚之前的文章,我並不是說你不能拿微分方程來解.微分方程本來就是適用於解簡諧運動的邊界值.但是既然你自己認為〔單擺本來就不是簡諧運動〕,又為何要拿微分方程來解單擺周期,這不是矛盾難道會是相容嗎?

只要單擺符合簡諧運動的情況(譬如角度在"公認"的小角度範圍內),微分方程可以拿來解它的邊界值,但是公認小角之外的情況(此時並非簡諧),你拿這個來解單擺周期當然會出現〔差沒多少〕的情況(把數學工具用在不該用的地方,將推論出不該有的結論),因此產生所有角度都會作SHM的錯誤推論(你和黃老師在這方面作出了錯誤的推論,去年Fychang網友在此討論串回答的"就實際去解微分方程,不過也差不了多少"的說法也是錯誤的).

Quote:

誰告訴你微分方程只能拿來解S.H.M??


我什麼時候說了這句話?請不要斷章取義



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2003-12-26 18:37 ]
48:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-26 18:38:00: [回應上一篇]
為什麼微分方程不能拿來求單擺運動的週期?
49:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-26 18:42:00: [回應上一篇]

我不知道你的邏輯哪裡出了矛盾

微分方程可以拿來解很多種運動不單單僅限於簡諧運動

單擺運動是具有週期性的運動但不是簡諧運動

以牛頓運動定律列式對它解微分方程求週期有何不可?



[ 這篇文章被編輯過: phyc 在 2003-12-26 18:44 ]
50:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-26 20:10:00: [回應上一篇]
Quote:
在 2003-12-26 18:42, phyc 寫了:

我不知道你的邏輯哪裡出了矛盾

微分方程可以拿來解很多種運動不單單僅限於簡諧運動

單擺運動是具有週期性的運動但不是簡諧運動

以牛頓運動定律列式對它解微分方程求週期有何不可?

[ 這篇文章被編輯過: phyc 在 2003-12-26 18:44 ]


請注意紅色的地方,各個句子之間的連貫:

狄卡爾 (加入日期: Apr 21, 2002, 文章:貼=5466/看=44902 ) 張貼: 2003-12-25 16:36












Quote:



在 2003-12-25 11:16, phyc 寫了:

不懂你對角度作積分有什麼意義

你從一開始就弄錯了如果書上是這麼寫的建議你先確定你有沒有誤解書上的意思

如果你有親自解微分方程應該不會有這些問題

就算不解微分方程泰勒展開式也可以查到來作近似




相同的道理 我也不懂為何要把sin做泰勒展開 至少說明一下物理意義為何?

彼端一直存在兩種相互矛盾的想法 實在不能接受 彼端一方面認為"單擺本來就不是簡諧運動" 另一方面又聲稱需要利用微分方程解題

要利用微分方程的前提 必須是"單擺恆為簡諧運動" 

(簡諧運動有方程 X=B*sint+C*cost 找邊界條件才能決定B,C的值 但是單擺在sin之外的情況並不是簡諧運動 所以不能把微分方程拿來亂用)彼端一直讓兩互不相容的條件交雜使用 當然會被人質疑

彼端聲稱 : "泰勒級數展開正弦函數 得誤差值" 這種誤差值似乎沒有意義 因為任何實驗一定會有誤差 永遠不存在完全精準的實驗 黃老師用那種方法最後說"即使是20度也仍是很好的近似" 一堆泰勒級數所估計的誤差 數值都那麼小 任何人都可以憑自己主觀的意見說"幾度之內也仍是很好的近似" 這樣子符合實證精神嗎?

彼端若利用微分方程解單擺在sin的情況,絕對正確,因為條件相符;但是彼端認為的,若在sin之外的情況套用微分方程去解可得"不會相差多少的結論",似乎是錯誤的結論,若條件不符時就不可亂用微分方程.



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2003-12-25 17:25 ]




  觀看張貼者個人資料:  狄卡爾      編輯/刪除 文章   針對本留言回應(引述留言) 針對本留言回應


51:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-26 22:07:00: [回應上一篇]
我沒有說[單擺為簡諧運動]
是[以微分方程解題]的必要條件
請再回去看清楚

52:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-26 22:16:00: [回應上一篇]

這是我針對你的理解障礙所作的最後一次回應:

1.微分方程可以解力學運動, 這裡的力學運動包括簡諧運動,也包括單擺週期運動 2.單擺的運動方程式不合於簡諧運動的定義 3.微分方程可以解單擺運動

請看清楚,以上敘述沒有矛盾, 如果你還是誤解語意, 本人也愛莫能助, 請你的國文老師幫忙吧!



[ 這篇文章被編輯過: phyc 在 2003-12-26 22:20 ]
53:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-27 22:10:00: [回應上一篇]
Quote:
在 2003-12-26 22:16, phyc 寫了:

這是我針對你的理解障礙所作的最後一次回應:

1.微分方程可以解力學運動, 這裡的力學運動包括簡諧運動,也包括單擺週期運動 2.單擺的運動方程式不合於簡諧運動的定義 3.微分方程可以解單擺運動


希望我們的討論不會陷入"信仰"或是"文學"的問題喔,而是純粹舉證論理的科學討論!"台大"數學系並沒有說微分方程也可以〔拿來解單擺週期運動〕∼

http://episte.math.ntu.edu.tw/entries/en_dif_equation/

假如現在大家"公認"單擺在一個小角度的範圍內,作簡諧運動,那麼在這小角範圍之外的大角,就不符合"台大"數學網中,虎克定律的形式啦,因為它不作簡諧運動呢.



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2003-12-27 22:21 ]
54:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-27 22:33:00: [回應上一篇]
看不出你這篇文章哪裡與我提過的觀點有矛盾

[ 這篇文章被編輯過: phyc 在 2003-12-27 22:40 ]
55:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-27 22:45:00: [回應上一篇]
A:物理可以解決力學問題
B:物理可以解決光學問題
A沒有說物理可以解決光學問題
所以A與B矛盾?
56:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-27 22:56:00: [回應上一篇]
高中數學課本第一冊第一章
有邏輯簡介
如果你這方面的能力很缺乏
可以去加強一下

57:FreeZ榮譽點數45點 (大學理工科系)張貼:2003-12-28 01:36:00: [回應上一篇]
Quote:
相同的道理 我也不懂為何要把sin$\theta#width=100&height=28$做泰勒展開 至少說明一下物理意義為何?


「泰勒展開」那是「數學意義」, 不是「物理意義」. 手算時, 方便估算數值用的. 你不想用「泰勒展開」, 也可以利用電子計算機幫你算.

Quote:
要利用微分方程的前提 必須是"單擺恆為簡諧運動"


沒這回事. 任何方程的式子中, 只要含有一個 (或以上)「微分變數」, 即可稱為「微分方程」! 當然, 解方程, 就要先列出正確的式子; 若列錯了式子, 想要得正確解, 也難!

Quote:
X=B*sin(ωt)+C*cos(ωt)


就是 A*sin(ωt+θ) = B*sin(ωt)+C*cos(ωt), 當把左式轉換成右式後, 接下的運算, 就不用再顧慮「相位 (θ) 」這個變數了! 這是為了數學上的方便.

[ 這篇文章被編輯過: FreeZ 在 2003-12-28 01:43 ]
58:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-28 14:32:00: [回應上一篇]

我感覺兩位的閱讀能力大概還只是侷限於中文語法,所以大概念徐志摩的文章會同樣去批判他,因為他還用了法德西的語法.

彼端一直存在兩種相互矛盾的想法 實在不能接受 彼端一方面認為"單擺本來就不是簡諧運動" 另一方面又聲稱需要利用微分方程解題

要利用微分方程的前提 必須是"單擺恆為簡諧運動" 

這些話會被誤解,在於對英文語法不熟悉:彼端一直存在兩種相互矛盾的想法 實在不能接受 彼端一方面認為"單擺本來就不是簡諧運動" 另一方面又聲稱需要利用微分方程解題 , "in which" if you wanna 利用微分方程的前提 ,you "must be" in condition of "單擺恆為簡諧運動" 

而不是單只是說"要利用微分方程的前提 必須是"單擺恆為簡諧運動" 早就跟你說要注意連貫性,但還是亂斷章取義!


59:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-28 14:37:00: [回應上一篇]

或許以上的解釋對兩位來講,還是亂扯,如果覺得亂扯,請你們把那些英語翻譯成中文看看,看是否要逐字翻譯!

看文章有時候也像看漫畫一樣,你不可能只是單獨看一個對白就去揣測,如果連看漫畫都會出現斷章取義的現象,那麼比不會讀教科書的學生程度還差,不是嗎?


60:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-28 14:46:00: [回應上一篇]

Quote:







狄卡爾 (加入日期: Apr 21, 2002, 文章:貼=5474/看=44946 ) 張貼: 2003-12-27 22:10










Quote:



在 2003-12-26 22:16, phyc 寫了:

這是我針對你的理解障礙所作的最後一次回應:

1.微分方程可以解力學運動, 這裡的力學運動包括簡諧運動,也包括單擺週期運動 2.單擺的運動方程式不合於簡諧運動的定義 3.微分方程可以解單擺運動




希望我們的討論不會陷入"信仰"或是"文學"的問題喔,而是純粹舉證論理的科學討論!"台大"數學系並沒有說微分方程也可以〔拿來解單擺週期運動〕∼

http://episte.math.ntu.edu.tw/entries/en_dif_equation/

假如現在大家"公認"單擺在一個小角度的範圍內,作簡諧運動,那麼在這小角範圍之外的大角,就不符合"台大"數學網中,虎克定律的形式啦,因為它不作簡諧運動呢.

[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2003-12-27 22:21 ]



  觀看張貼者個人資料:  狄卡爾      編輯/刪除 文章   針對本留言回應(引述留言) 針對本留言回應
phyc (加入日期: Aug 20, 2003, 文章:貼=387/看=2463 ) 張貼: 2003-12-27 22:33


看不出你這篇文章哪裡與我提過的觀點有矛盾 [ 這篇文章被編輯過: phyc 在 2003-12-27 22:40 ]


  觀看張貼者個人資料:  phyc      編輯/刪除 文章   針對本留言回應(引述留言) 針對本留言回應


一週之內,前後矛盾!

phyc (加入日期: Aug 20, 2003, 文章:貼=387/看=2462 ) 張貼: 2003-12-19 19:17




單擺不是S.H.M 這對任何角度都一樣 回溯一下S.H.M的基本定義吧!




  觀看張貼者個人資料:  phyc      編輯/刪除 文章   針對本留言回應(引述留言) 針對本留言回應



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2003-12-28 14:54 ]
61:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-28 15:01:00: [回應上一篇]

如果每次一遇理虧
就開始取鬧
我想沒多少人願意繼續幫你解決問題

你不了解微分方程
卻又不肯把他弄清楚
閱讀別人的文章當然會有障礙
當然老是覺得不對勁

學習是自己的責任
自己的責任沒有作好的時候
請不要歸咎責任
甚至作人身攻擊

我們在這裡耐心解決你的疑惑換來的就是這些嗎?

誰有在耐心看文章
誰沒有用心看文章
對了解物理的旁觀者已經很明顯

無理取鬧並不能掩飾你對物理的無知
只會更顯的你的風度與學習態度而已

你要自創自己的英文文法的中文
請你自己去搞
在公開場合
請用中文文法的中文

這般無理取鬧
比讀不懂中文的人還要浪費大家的時間
看不懂中文的人起碼我們還可以講英文給他聽
不需要去懂你自創的文法
中文裡沒有所謂的英文文法
英文裡也沒有中文文法
要講中文
就請按照中文文法來

如果你還是不回歸到物理問題上
非得要在理虧的時候扯到這不相干的事
日後的討論就言盡於此
因為你接受不了討論性的內容
也不願去面對別人指出你錯誤的事實


62:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-28 15:28:00: [回應上一篇]
Quote:
在 2003-12-28 15:01, phyc 寫了:

如果每次一遇理虧就開始取鬧我想沒多少人願意繼續幫你解決問題


我真的取鬧嗎?我覺得我是在講理耶,或許言語很尖銳,但是畢竟都是在陳述事實啊!不知道你怎麼會有這種想法?

Quote:

你不了解微分方程卻又不肯把他弄清楚閱讀別人的文章當然會有障礙當然老是覺得不對勁


我要是不了解微分方程,為何又要有如下的事蹟呢?

http://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=7513&forum=57&2

Quote:

學習是自己的責任自己的責任沒有作好的時候請不要歸咎責任甚至作人身攻擊

我們在這裡耐心解決你的疑惑換來的就是這些嗎?


你怎麼知道我沒有盡到自己該盡的責任呢?

那那,這樣算不算人身攻擊呀?

phyc (加入日期: Aug 20, 2003, 文章:貼=388/看=2464 ) 張貼: 2003-12-27 22:56




高中數學課本第一冊第一章有邏輯簡介如果你這方面的能力很缺乏可以去加強一下




  觀看張貼者個人資料:  phyc      編輯/刪除 文章   針對本留言回應(引述留言) 針對本留言回應

Quote:

你要自創自己的英文文法的中文請你自己去搞在公開場合請用中文文法的中文

這般無理取鬧比讀不懂中文的人還要浪費大家的時間看不懂中文的人起碼我們還可以講英文給他聽不需要去懂你自創的文法中文裡沒有所謂的英文文法英文裡也沒有中文文法要講中文就請按照中文文法來


英文讀了那麼多年,大量閱讀+老師上課都講英文=變成我習慣洋文語法,冤枉喔∼

Quote:

如果你還是不回歸到物理問題上非得要在理虧的時候扯到這不相干的事日後的討論就言盡於此因為你接受不了討論性的內容也不願去面對別人指出你錯誤的事實


我察覺不到底我有什麼理虧的情形發生,也並非不想去面對,畢竟不敢保證這裡所有的訊息都是100%的正確,只是單就〔物理問題〕來講,或許大家都還有再議的必要!


63:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-28 15:37:00: [回應上一篇]

你的閱讀問題,我無意苛責,但你也不該拿自己的問題來要求別人

你對微分方程的了解
我說的很清楚了

你閱讀的那篇文章沒有提到微分方程可以解單擺運動
並不等於不行
那篇文章只是對微分方程的一小部分作簡介
微分方程式一門深廣的領域

我上次寫給你的那幾本工程數學與物理數學的書
都有非線性微分方程的內容

你起碼去查閱一下這些內容
這就是你的責任與功課

我相信你沒有去查閱這些書籍
不然不會有此困擾

 


64:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-28 20:29:00: [回應上一篇]

微積分和大學物理學 兩~三本書上講微分方程的應用 都是拿來解虎克定律F=-kx 彈簧...等

但是迄今就是沒有看到如你所講的 可以拿去解單擺運動

由於我沒有很多時間去找工程數學的書 所以或許因此造成之間彼此的困擾 既然問題發展到這種地步 我想我稍後去翻閱工程數學 再回來討論好了



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2003-12-28 20:30 ]
65:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-28 21:11:00: [回應上一篇]

Quote:
在 2003-12-28 01:36, FreeZ 寫了: 

「泰勒展開」那是「數學意義」, 不是「物理意義」. 手算時, 方便估算數值用的. 你不想用「泰勒展開」, 也可以利用電子計算機幫你算.


那麼為何要展開sinX,而不展開cosX或tanX呢?

Quote:

任何方程的式子中, 只要含有一個 (或以上)「微分變數」, 即可稱為「微分方程」!


知道 是 y'+y"+∼=∼∼∼


66:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-28 23:38:00: [回應上一篇]
Quote:
在 2003-12-28 15:37, phyc 寫了:

我上次寫給你的那幾本工程數學與物理數學的書都有非線性微分方程的內容

你起碼去查閱一下這些內容這就是你的責任與功課

我相信你沒有去查閱這些書籍不然不會有此困擾 


剛剛翻了一本標準課本,情況好像對你很不利:

工程數學,羅文陽著,高立圖書有限公司,第117頁

我的論點與它不謀而合(之前我並不曉得它的觀點).

由於夜深了,我還有其他功課,明天我們再談吧(明天我會到學校圖書館,找找其他書籍進一步求證我的想法)


67:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-29 23:51:00: [回應上一篇]

我從來就沒有想要造成你的不利
只是就事論事

在這裡討論問題
過程的正誤都是一種收穫

你何不換個角度想
何必要抱著對誰有利對不利的想法

能發現自己的錯誤才有機會成長
我倒是覺得自己在做的事對人有利

當然啦
也許你並不這麼認為

回歸到原點
這裡是一個開放的言論空間
任何任都可以合理的提出他的想法
也可以指陳他認為對方在物理問題方面的錯誤
這是為了討論問題與交流想法的目的上

而非負面的打擊或競爭

如果你不能接受
你可以不參與討論
我不會主動去造成別人的困擾

既然希望別人尊重你
請你也能先做到尊重別人

陳述想法中的錯誤不等於不尊重
因為這裡的目的是討論問題


68:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2003-12-30 00:10:00: [回應上一篇]

剛剛發現
黃老師的文章似乎有筆誤

我修正與補充於下:

(設A為擺繩與鉛直線的夾角,A'為角速度,A"為角加速度)

力矩=轉動慣量*角加速度
所以
lmg*(sinA)=m*(l^2)*(A")
g*(sinA)=l*(A")
(A")=(g/l)*(sinA)

接下來就是解這個微分方程
可以找一個起始值
例如t=0時,A=(1/3)*(Pi)

Pi代表圓周率


69:FreeZ榮譽點數45點 (大學理工科系)張貼:2003-12-30 11:56:00: [回應上一篇]
Quote:
那麼為何要展開sinX,而不展開cosX或tanX呢?


你在估算「sinθ≒θ」的誤差, 你跑去展開 cosθ 或 tanθ 幹嘛?

因為 sinθ = θ - θ3/3! + ...

所以當你把 sinθ 近似成 θ 時, 那是不是就少了後面「 - θ3/3! + ...」這些東西? 那後面的這些東西, 是不是就是用來估算誤差最好用式子?

你感受不到這裡面所散發出來的藝術呀? 那可是比光按電子計算機還爽!

Quote:
知道 是 y'+y"+∼=∼∼∼


因為一階方程, 通常直接積分即可. 故課本的重點, 通常是放在二階 (or 二階以上) 的解法.

[ 這篇文章被編輯過: FreeZ 在 2003-12-30 11:59 ]
70:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-30 15:42:00: [回應上一篇]

Quote:
在 2003-12-30 11:56, FreeZ 寫了:

你在估算「sinθ≒θ」的誤差, 你跑去展開 cosθ 或 tanθ 幹嘛? 因為 sinθ = θ - θ3/3! + ... 所以當你把 sinθ 近似成 θ 時, 那是不是就少了後面「 - θ3/3! + ...」這些東西? 那後面的這些東西, 是不是就是用來估算誤差最好用式子? 你感受不到這裡面所散發出來的藝術呀? 那可是比光按電子計算機還爽!


我先把話講清楚 免得後續的網友斷章取義(不是攻擊別人亂斷章取義 而是網路有其中一個缺點 就是發言狀態具有時間上的連續性 和日常生活完全不同 有時候一些討論內容要先有相關的聲明 寧願事先浪費一點時間 也不願看到後面亂七八糟的情形)

我想講的就是 : 我並非不懂泰勒展開式 因為畢竟學校的正規課都已上過了 也通過考試 所以之前如果各位輕視我認為我是不懂這種基本工具 才作一連串的發問或是做其它的"長篇大論" 那麼也只好自認判斷錯誤 浪費你们自己的時間(必須要說清楚這是你们自己須要負的責任)

或許是我想太多 但是真的不希望 因為我沒把話講清楚 造成你我更多時間的浪費!


71:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-30 16:02:00: [回應上一篇]

Quote:
在 2002-12-14 23:52, Fychang 寫了:

Quote:
在 2002-12-14 18:21, 談亦云 寫了: 擺角大於5度的單擺,該如何算周期呢?

就實際去解微分方程式,不過,其實好像不會差多少


差很多 妳可以不信我講的話 但是等妳仔細翻兩三本以上(至少)工程數學的書籍 就會知道微分方程本來就是在解"公認小角之內的單擺的周期" 或者是"任意角(但必須小於90o)之下單擺擺垂的切線速度"$v={\pm}\sqrt{2gL*(cos{\theta}-cos{\alpha})}#width=188&height=31$

可參考中央圖書出版的 高等數學學習系列 書名 : 微分方程

我這裡離圖書館有段距離 或許手邊有這本書的時候會告知確實的參考頁數



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2003-12-30 16:04 ]
72:黃福坤 (研究所)張貼:2003-12-30 16:10:00: [回應上一篇]
Quote:

在 2003-12-30 16:02, 狄卡爾 寫了:

Quote:
在 2002-12-14 23:52, Fychang 寫了:

Quote:
在 2002-12-14 18:21, 談亦云 寫了: 擺角大於5度的單擺,該如何算周期呢?

就實際去解微分方程式,不過,其實好像不會差多少


差很多 妳可以不信我講的話 但是等妳仔細翻兩三本以上(至少)工程數學的書籍 就會知道微分方程本來就是在解"公認小角之內的單擺的周期" 或者是"任意角(但必須小於90o)之下單擺擺垂的切線速度"$v={\pm}\sqrt{2gL*(cos{\theta}-cos{\alpha})}#width=188&height=31$

可參考中央圖書出版的 高等數學學習系列 書名 : 微分方程

我這裡離圖書館有段距離 或許手邊有這本書的時候會告知確實的參考頁數





談了那麼久 狄卡爾還是沒有進入狀況.
大角度與小角度或許解法不同 但是兩者計算出來的週期相差並不多
這也是為何一般仍用小角度近似處理的原因
若是想看看不同角度實際周期的變化 請觀看本網站 單擺運動 的動畫
當初設計那個動畫就是要讓高中生實際體會
其實大角度對於單擺的週期和小角度時 相差不多
73:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-30 16:20:00: [回應上一篇]
Quote:
在 2003-12-29 23:51, phyc 寫了:

我從來就沒有想要造成你的不利只是就事論事

在這裡討論問題過程的正誤都是一種收穫

你何不換個角度想何必要抱著對誰有利對不利的想法

能發現自己的錯誤才有機會成長我倒是覺得自己在做的事對人有利

當然啦也許你並不這麼認為

回歸到原點這裡是一個開放的言論空間任何任都可以合理的提出他的想法也可以指陳他認為對方在物理問題方面的錯誤這是為了討論問題與交流想法的目的上

而非負面的打擊或競爭

如果你不能接受你可以不參與討論我不會主動去造成別人的困擾

既然希望別人尊重你請你也能先做到尊重別人

陳述想法中的錯誤不等於不尊重因為這裡的目的是討論問題


身為一個科學學習者 凡事必須親眼看到才算數 譬如最基本的 就是要親自查書/親手作實驗/親眼閱讀 要是別人的說法沒有辦法被第三者親自證實 科學學習者就必須針對對方的觀點抱持懷疑與質疑的基本研究態度!

科學辯論也和世俗的爭吵一樣 各派人馬都會有利有劣的局勢發生 無須回避 即使是科學家也有一般人的情緒!

典型的例子如海更士的光波動說與牛頓的光粒子說 雙方的人馬不也激辯百年嗎??

牛頓受到虎克的誤會 不也離開皇家學會二十餘載吗?? 不也隱藏萬有引力的發現二十餘載吗??

以上都只是舉例 旨在說明培養科學人才不應以太高的道德標準來執行 畢竟他們也只不過是比較聰明的"凡人"而已!



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2003-12-30 18:06 ]
74:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-30 18:17:00: [回應上一篇]

Quote:
在 2003-12-30 16:10, 黃福坤 寫了:

大角度與小角度或許解法不同 但是兩者計算出來的週期相差並不多這也是為何一般仍用小角度近似處理的原因


我不否認你對單擺周期在不同角時都近似的詮釋!

只是,

"Serway說":10o以下才能把單擺當成簡諧運動,這是不是說所謂的〔小角度〕就是它呢?

Quote:

若是想看看不同角度實際周期的變化 請觀看本網站 單擺運動 的動畫當初設計那個動畫就是要讓高中生實際體會 其實大角度對於單擺的週期和小角度時 相差不多


永遠擺動在動畫裡或許可以實現,但是在現實世界中,不可能存在〔永動機〕!否則一切古典熱力學將遭到推翻!

單擺的擺動周期必隨時間的變化而蛻變,即使沒有任何外在阻力,這是自然現象!要不然我們都可以隨便拿單擺來發電了!(如果真的可以早就有相關的發電技術!)單擺擺垂的地方如果放上小磁鐵,單擺周圍再布滿迴線圈,不就可以發電了嗎?如果可以,不就有永動機(永遠發電的機器)了嗎?

*************************************

或許單擺比較麻煩的地方,不在於它的角度問題,而是很難想到原來它並不是〔等速率〕圓周運動!

我相信很多人都說它的運動軌跡是等速(率)圓周運動軌跡的一部分,但是仔細想想,真的是嗎?我想他們誤解了.幾乎所有標準課本原先都是拿參考圓的投影來說明簡諧運動,但很有可能大多數人誤解/斷章取義,以為等速率圓周運動是簡諧運動.課本的用意只是要讓初學者認識到圖形為正弦波者才是簡諧!

單擺在大角的時候,由於$sin\theta#width=35&height=28$和$\theta#width=100&height=28$差得多,所以沒有形式$\tau=-mg*s#width=80&height=28$(原式類似於F=-kx),不是在作簡諧.但是角度很小的時候,它作簡諧.它在大角的時候,作鉛直面的圓周運動(不是等速率圓周運動),但它在小角的時候,可以看成在作等速率圓周運動!



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2003-12-30 20:59 ]
75:黃福坤 (研究所)張貼:2003-12-31 07:55:00: [回應上一篇]
Quote:

在 2003-12-30 18:17, 狄卡爾 寫了:

Quote:
在 2003-12-30 16:10, 黃福坤 寫了:

大角度與小角度或許解法不同 但是兩者計算出來的週期相差並不多這也是為何一般仍用小角度近似處理的原因


我不否認你對單擺周期在不同角時都近似的詮釋!

只是,

"Serway說":10o以下才能把單擺當成簡諧運動,這是不是說所謂的〔小角度〕就是它呢?




請問Serway的書中有沒有說理由呢? 為何是10度 而不是11度或 ...

當初我會留言而且用誤差分析的方法 就是要告訴你 需要講清楚條件
5度時所造成誤差稍大於0.1%
10度時所造成誤差小於 0.5%
20度時所造成誤差小於 2%
...
詳細分析請參考之前的留言,
因此若是要求精密度小於0.5%則單擺擺角小於10度時 其產生的誤差才可忽略
例如很多學生做單擺實驗,實驗數據算出後誤差5% 就說是因為擺角太大(例如10度左有)所造成 其實绝大多數是因為其他原因(另有超過4%更重要的誤差來源而不自知)

一直在提醒你處理問題的方法
但是你卻當作在找你的錯誤或以為別人言詞對你不友善 而一再反駁
卻因為太急於回應 呈現更多的漏洞
其實你的激烈回應言詞 往往傷害很多真心想和你討論的網友
是否注意到很多討論留言最後都剩下你持續回應...
再度建議你避免情緒性字眼 盡量針對物理問題回應
討論科學態度/科學本質等問題 請利用其他的討論區
76:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-31 11:59:00: [回應上一篇]

我沒有所謂的急著回應(因為都有查證之後再發言) 至於漏洞多還是少因人的看法而異

你们會認為我"急著回應" 多半是因為彼此打字速度懸殊太大(我通過中打技能乙級技術士檢定) 造成誤解 當然如果對以上講的不採信 我也不會生氣啦 只是照實講而已

另外兩大體系的師生接觸會有磨擦是很正常的(因為是兩個不同的世界) 這點我一點都不避諱


77:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2003-12-31 20:26:00: [回應上一篇]

Quote:
在 2003-12-31 07:55, 黃福坤 寫了:

請問Serway的書中有沒有說理由呢? 為何是10度 而不是11度或 ...


他說超過約10度的時候 誤差會大於1%

但是他沒有說為何不可以大於1%

之前提出的永動機不可能存在 不是情緒回應 是針對物理問題

單擺擺動利用的是重力場 由這個場所產生的作用力方向若與原子座標的加速方向相反時 電磁與重力會有某種程度的交互作用 導致單擺週期的蛻變 (所謂的蛻變意思是需要極長時間 不易被肉眼觀察到 如蟬的蛻變 放射性蛻變...等)

[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2003-12-31 20:39 ]

[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2004-01-01 16:04 ]
78:蔡東邦 (大學)張貼:2004-01-16 23:39:00: [回應上一篇]

我數值作業寫個程式,by c++

可以抓回去看看,可以計算大角度詳細週期

http://www.phys.ncku.edu.tw/~dbtsai/phycode/ODE/pendulum.exe

http://www.phys.ncku.edu.tw/~dbtsai/phycode/ODE/pendulum.zip

 以上面那個壓縮檔是source code..歡迎轉載

 不過希望發mail告知我一下~~並且有問題歡迎討論指教

 

用三種方法,可以解到小數第十四位,其中ODE法,by rk4

和直接以能量去積分做出來的一樣,而你之前說的那個

T的完整公式,可以使用powr series導出~或者以能量的觀點

去做積分,可是會在端點發散,所以用Chebysher去做積分,也

可推到一樣的解果~如果唸物理系,可以學到更多方法去做

你可以去看看Classical Dynamics by MARION亦可以用Lagrange

去解,不過需要很多的數學背景,所以要先多唸唸數學吧~^_^

我剛剛也用Hamilton法,也可解得一樣的結果,讓我覺得物理

真是一門藝術阿...不過建構在這藝術上的數學真理是不變的

有些人,不懂數學,卻自以為用物理直覺來和人家鬧,根本也不知

到別人再講什,這也是不可取的..理論力學這種東西,發展數百年了

基本上不會有問題了..其實唸力學,比單擺好玩的東西很多,可以去

看看我開給你的書..唸懂別人再講什再說吧..

還有~微分方成乃是一種數學工具,她把基本的理論以數學描述出來

所以是可以適用各種情形的.但是你說微分方成只能來解SHM,那就太

小看了..世界上大部分的事物都是非線性的,故其微分方成不像SHM的

依樣簡單..去算個量子力學位能井就知道了..超級複雜,目前我也是想

往數值材料計算的工作...積分都是非線性PED等等...很中肯的建議你

先去唸點"真正"的數學...像Physics math,by afriken...那是物理系用的

數學聖經..

 

From NCKU   E-mail : dbtsai@phys.ncku.edu.tw



[ 這篇文章被編輯過: 蔡東邦 在 2004-01-16 23:56 ]
79:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2004-01-17 16:26:00: [回應上一篇]

Quote:

你可以去看看Classical Dynamics by MARION亦可以用Lagrange

去解,不過需要很多的數學背景,所以要先多唸唸數學吧~^_^

我剛剛也用Hamilton法,也可解得一樣的結果,讓我覺得物理

真是一門藝術阿...不過建構在這藝術上的數學真理是不變的

有些人,不懂數學,卻自以為用物理直覺來和人家鬧,根本也不知

到別人再講什,這也是不可取的..


ㄏㄏㄏ, 如果你覺得我花在鬧物理的時間greater than studying Math

那麼你大概錯了~~~

是否真的認為我不懂數學而在跟別人鬧物理呀!!!

ㄏㄏㄏ快讀到LAPACE啦.....

還有~~~我有一篇文章跟這個有關 用高等數學證出另一道廣義的單擺週期方程 不過呢學校一再交代我們不能讓別的學校學生老師知道我們的研究 所以一直都沒給它公佈!!!^_^

PS.不是在情緒喔...


80:蔡東邦 (大學)張貼:2004-01-18 17:05:00: [回應上一篇]

好厲害阿...

還可以做出廣義單擺哩...

搞不好可以推翻舊物理...

登上諾貝爾獎的舞台唷...

期待中...^_^ 加油吧...

(唸到LAPACE啦..好快,不過後面還有很多要唸的唷...

妳現在大一??那不是大二的物數嗎~? 真強,我大一

還不懂什傅利葉轉換等,妳都知啦!!!)

 

 

Quote:
在 2004-01-17 16:26, 狄卡爾 寫了:

Quote:

你可以去看看Classical Dynamics by MARION亦可以用Lagrange

去解,不過需要很多的數學背景,所以要先多唸唸數學吧~^_^

我剛剛也用Hamilton法,也可解得一樣的結果,讓我覺得物理

真是一門藝術阿...不過建構在這藝術上的數學真理是不變的

有些人,不懂數學,卻自以為用物理直覺來和人家鬧,根本也不知

到別人再講什,這也是不可取的..


ㄏㄏㄏ, 如果你覺得我花在鬧物理的時間greater than studying Math

那麼你大概錯了~~~

是否真的認為我不懂數學而在跟別人鬧物理呀!!!

ㄏㄏㄏ快讀到LAPACE啦.....

還有~~~我有一篇文章跟這個有關 用高等數學證出另一道廣義的單擺週期方程 不過呢學校一再交代我們不能讓別的學校學生老師知道我們的研究 所以一直都沒給它公佈!!!^_^

PS.不是在情緒喔...




[ 這篇文章被編輯過: 蔡東邦 在 2004-01-18 17:07 ]
81:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2004-01-18 17:54:00: [回應上一篇]
Quote:
在 2004-01-18 17:05, 蔡東邦 寫了:

好厲害阿...

還可以做出廣義單擺哩...

搞不好可以推翻舊物理...

登上諾貝爾獎的舞台唷...

期待中...^_^ 加油吧...


以上已經瀕臨離題邊緣 已轉到底下回覆了!

http://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=8218&forum=57&start=0



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2004-01-18 19:33 ]
82:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2004-01-19 23:43:00: [回應上一篇]

Quote:
在 2002-12-31 13:57, 黃福坤 寫了:

參考本網站的動畫 可以實驗出各種角度的週期有必要特別選5度嗎???

推導時可知 原本是 $\frac{d\theta}{d t}= -\frac{g}{L} sin\theta#width=97&height=51$

將其近似為 $\frac{d\theta}{d t}= -\frac{g}{L} \theta#width=74&height=51$

兩者的誤差可估算如下 $sin\theta = \theta -\frac{1}{3!}\theta^3+\frac{1}{5!}\theta^{5}-...#width=191&height=51$

因此取進似時 相對誤差 $\Delta = \frac{1}{3!}\frac{\theta^3}{\theta}= \frac{\theta^2}{6}#width=108&height=62$

5度對應的 $\theta=5*3.14159/180#width=152&height=28$約為$5/60=1/12#width=96&height=28$ 因此所造成誤差約為 $\Delta= \frac{1}{6*12*12}=\frac{1}{6*144}#width=163&height=51$ 將進0.1% (千分之一) 其實 20度內誤差也不過增加為$16*\Delta#width=47&height=28$約$\frac{1}{6*3*3}=\frac{1}{54}#width=87&height=51$ 在2%範圍內 因此一般單擺都很接近理想單擺


(老師有些符號沒有打好 我幫你更正過了!)

依照微積分課本裡 你所展開的式子$sin\theta = \theta -\frac{1}{3!}\theta^3+\frac{1}{5!}\theta^{5}-...#width=191&height=51$

應該是"麥可勞林級數" 因為$\theta#width=100&height=28$充分小 :

即$\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{sin\theta}{\theta}=1#width=98&height=59$

即$\frac{sin\theta}{\theta} \approx 1 {\Rightarrow} sin\theta \approx \theta#width=149&height=51$

由於你說 :

Quote:

推導時可知 原本是 $\frac{d\theta}{d t}= -\frac{g}{L} sin\theta#width=97&height=51$

將其近似為 $\frac{d\theta}{d t}= -\frac{g}{L} \theta#width=74&height=51$

兩者的誤差可估算如下 $sin\theta = \theta -\frac{1}{3!}\theta^3+\frac{1}{5!}\theta^{5}-...#width=191&height=51$


所以你所展開的式子$sin\theta = \theta -\frac{1}{3!}\theta^3+\frac{1}{5!}\theta^{5}-...#width=191&height=51$是"麥可勞林級數" 而非"泰勒級數"!

***********************************************************

以下將證明$T \propto _4\sqrt{\frac{1+cos\theta}{1-cos\theta}}#width=111&height=54$

先解微分方程$\frac{d\theta}{dt}=-\frac{g}{L}sin\theta#width=97&height=51$

$\Rightarrow \frac{1}{\omega}=-\frac{L}{g*sin\theta}#width=117&height=51$

$\Rightarrow \frac{1}{\omega}+\frac{L}{g*sin\theta}=0#width=131&height=51$

$\Rightarrow \int \frac{1}{\omega}d\theta+\int \frac{L}{gsin\theta}d\theta=C#width=195&height=51$

$\Rightarrow \int \frac{1}{\omega}{\omega}dt+\frac{L}{g}\int csc{\theta}d\theta=C#width=209&height=51$

$\Rightarrow t+\frac{L}{g}ln{\mid}tan\frac{\theta}{2}{\mid}=C#width=154&height=51$

到這裡解微分方程結束 接著導$T \propto _4\sqrt{\frac{1+cos\theta}{1-cos\theta}}#width=111&height=54$

由$t+\frac{L}{g}ln{\mid}tan\frac{\theta}{2}{\mid}=C#width=133&height=51$

得$e^{t}+\frac{L}{g} {\mid}tan\frac{\theta}{2}{\mid}=e^c#width=131&height=51$

$\Rightarrow \frac{L}{g} {\mid}tan\frac{\theta}{2}{\mid}=e^{c}-e^{t}{\mid}_{\frac{L}{g}=(\frac{T}{2\pi})^2}#width=216&height=70$

$\Rightarrow (\frac{T}{2\pi})^2=\frac{e^{c}-e^{t}}{{\mid}tan\frac{\theta}{2}{\mid}}=(e^{c}-e^{t})\sqrt{\frac{1+cos\theta}{1-cos\theta}}#width=273&height=81$

$\Rightarrow T \propto _4\sqrt{\frac{1+cos\theta}{1-cos\theta}}#width=132&height=54$ 證畢

對$cos\theta#width=38&height=28$作泰勒展開 得$cos\theta=1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\frac{\theta^6}{6!}+.......#width=213&height=62$

因週期T近似正比於$_4\sqrt{\frac{1+cos\theta}{1-cos\theta}}#width=80&height=54$ 故上式中的更高次方(4階~6階)都不可忽略!

Quote:
在 2003-12-25 11:16, phyc 寫了:

如果你有親自解微分方程應該不會有這些問題

就算不解微分方程泰勒展開式也可以查到來作近似

在 2003-12-26 17:51, phyc 寫了:

泰勒展開式裡可以發現自變數愈小愈後頭的項值就愈小所以可以忽略後頭的項作為原式的近似式


以上已經利用微分方程作了一系列的推導 煩請過目.

在以上的推導中 至少在4階之前的項都不可忽略!

換言之 我們可以把在區間$[0,\frac{\pi}{2}]#width=45&height=51$之中遠大於零的角度代入$T=(2{\pi})*_4\sqrt{\frac{(e^{c}-e^{t})^{2}*(1+cos\theta)}{1-cos\theta}}}#width=224&height=64$中

譬如當$\theta=20^{\circ}#width=57&height=41$的時候 週期會有很大誤差 因為式子$T \propto _4\sqrt{\frac{1+cos\theta}{1-cos\theta}}#width=111&height=54$ 且對$cos\theta#width=38&height=28$作泰勒展開 得$cos\theta=1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\frac{\theta^6}{6!}+.......#width=213&height=62$

[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2004-01-20 18:41 ]

[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2004-01-20 21:12 ]
83:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2004-01-21 00:28:00: [回應上一篇]
其實
麥克勞林級數只是泰勒展開式的一個特例

以上內容在初等微積分課本有提及
84:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2004-01-21 16:13:00: [回應上一篇]

I hope that I didn't misunderstand you.

Do you mean what I described about Maclaurin Series between Taylor Series yesterday were incorrect?



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2004-01-22 16:40 ]
85:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2004-12-19 17:31:30: [回應上一篇]
Quote:
在 2003-12-28 15:01:00, phyc 寫了:

你不了解微分方程卻又不肯把他弄清楚閱讀別人的文章當然會有障礙當然老是覺得不對勁

學習是自己的責任自己的責任沒有作好的時候請不要歸咎責任甚至作人身攻擊

我們在這裡耐心解決你的疑惑換來的就是這些嗎?


超出當時該有的學習教材範圍 此學習並沒有意義


86:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2004-12-19 17:33:31: [回應上一篇]
Quote:
在 2003-12-28 15:37:00, phyc 寫了:

你對微分方程的了解我說的很清楚了

你閱讀的那篇文章沒有提到微分方程可以解單擺運動並不等於不行那篇文章只是對微分方程的一小部分作簡介微分方程式一門深廣的領域

我上次寫給你的那幾本工程數學與物理數學的書都有非線性微分方程的內容

你起碼去查閱一下這些內容這就是你的責任與功課


超出主修之外的學習 並不適當


87:honda (高中職)張貼:2009-07-19 17:08:24: [回應第1篇]

學習『物理』即是要理解萬物之真理,心中存有疑惑即須審慎的去求解。

單擺運動已利用數學領域中之其中一脈,直觀的求得其解。(數學知識網)

整體的運動方程式仍待先進努力。

單擺運動於無摩擦力系統中,仍將衰減。

(去做實驗,驗證ㄧ下在真空中的情形)

單擺運動不是能量守恆運動。

單擺運動於小角度時仍將受重力影響而衰減的類似簡諧運動。

單擺運動是類似弦的振動,差別在弦繃緊的兩端是固定著,而單擺是在上端固定,下端不固定而繫ㄧ重物由重力吸引。

偉人Galileo、Huygen出解習題賜寶藏。

三百年來只知疑惑卻苦無直觀法門。

莫道議紜實是幸甚答非答在己知欲。

小小單擺真理即要撼動人間物理界。

 

 


88:蠍心榮譽點數22點 (大學理工科系)張貼:2009-07-22 00:38:44: [回應上一篇]
Quote:
在 2009-07-19 17:08:24, honda 寫了:

學習『物理』即是要理解萬物之真理,心中存有疑惑即須審慎的去求解。

單擺運動已利用數學領域中之其中一脈,直觀的求得其解。(數學知識網)

整體的運動方程式仍待先進努力。

單擺運動於無摩擦力系統中,仍將衰減。

(去做實驗,驗證ㄧ下在真空中的情形)

單擺運動不是能量守恆運動。

單擺運動於小角度時仍將受重力影響而衰減的類似簡諧運動。

單擺運動是類似弦的振動,差別在弦繃緊的兩端是固定著,而單擺是在上端固定,下端不固定而繫ㄧ重物由重力吸引。

偉人Galileo、Huygen出解習題賜寶藏。

三百年來只知疑惑卻苦無直觀法門。

莫道議紜實是幸甚答非答在己知欲。

小小單擺真理即要撼動人間物理界。

 


 

請問重力如何讓整系統的能量衰減?

 


89:loglnlim90 (大學)張貼:2014-10-21 20:36:19: [回應第1篇]
大角度的單擺運動之週期經由機械能守恆,然後藉由一些微積分的運算,最後得到大角度的單擺週期與「第一類完全橢圓積分」有關。

參考資料:http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d272/27205.pdf

中研院數學研究所

本區 註冊登入 者方可留言 回首篇留言
本討論串由 honda 設定狀態為:問題已經圓滿解決
黃福坤 修改,轉成中文版面並增加功能 從2011/06/15起
對本討論區有何疑問 請 管理區:onlineid=0:time=1461987468/Apr:30 11:04:page time=1s