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力學 標題:單擺中的證明
1:yangzon (高中職)張貼:2014-02-22 12:25:18:
單擺中的周期T的 θ證明設 θ近似於零 若近似於零數學中不是=0嗎? ? sinθ = θ ????

2:黃福坤(研究所)張貼:2014-02-22 15:47:37: [回應上一篇]

彈簧 $F=m \frac{d^2x}{dx^2}=-k x$ 是簡諧運動的標準範例
但是單擺的關係是  $ I \frac{d^2\theta}{d\theta^2}= - mg \sin\theta$
若 $\sin\theta$改為  $\theta$ 才完全滿足 簡諧運動的關係式
而 $\sin\theta= \theta-\frac{1}{3!}\theta^3+\frac{1}{5!}\theta^5-\frac{1}{7!}\theta^7+\frac{1}{9!}\theta-...$
若  $ \theta $ 夠小, 其誤差可以忽略的狀況下.單擺可視為簡諧運動
至於其誤差 ,最大的一項誤差是 少了    $\frac{1}{3!}\theta^3$
因此百分誤差是 $\frac{1}{3!}\theta^3/\theta=\frac{1}{3!}\theta^2$
若 角度是 5度時, $\theta=\frac{5}{180}\pi \approx \frac{5}{180}3=\frac{5}{60}=\frac{1}{12}$
所以百分誤差約 $\frac{1}{6*12*12}=\frac{1}{6*144}=\frac{1}{864}$
接近千分之一. 因此通常可以將 單擺視為簡諧運動


3:yangzon (高中職)張貼:2014-02-22 21:04:33: [回應上一篇]

Quote:

在 2014-02-22 15:47:37, 黃福坤 寫了:

彈簧 $F=m \frac{d^2x}{dx^2}=-k x$ 是簡諧運動的標準範例
但是單擺的關係是  $ I \frac{d^2\theta}{d\theta^2}= - mg \sin\theta$
若 $\sin\theta$改為  $\theta$ 才完全滿足 簡諧運動的關係式
而 $\sin\theta= \theta-\frac{1}{3!}\theta^3+\frac{1}{5!}\theta^5-\frac{1}{7!}\theta^7+\frac{1}{9!}\theta-...$
若  $\theta$ 夠小, 其誤差可以忽略的狀況下.單擺可視為簡諧運動
至於其誤差 ,最大的一項誤差是 少了    $\frac{1}{3!}\theta^3$
因此百分誤差是 $\frac{1}{3!}\theta^3/\theta=\frac{1}{3!}\theta^2$
若 角度是 5度時, $\theta=\frac{5}{180}\pi \approx \frac{5}{180}3=\frac{5}{60}=\frac{1}{12}$
所以百分誤差約 $\frac{1}{6*12*12}=\frac{1}{6*144}=\frac{1}{864}$
接近千分之一. 因此通常可以將 單擺視為簡諧運動



教授有沒有比較簡單的講法  第一條算式就看不大懂\

[ 這篇文章被編輯過: yangzon 在 2014-02-22 22:33:29 ]

4:黃福坤(研究所)張貼:2014-02-22 23:29:20: [回應上一篇]
單擺能視為簡諧運動 是 要求角度夠小 並不需要趨近於零
是將 $\sin\theta$ 近似為 $\theta$

是否你已經清楚何謂簡諧運動呢?  我之前誤以為你已經了解何謂簡諧運動 與 彈簧受力的簡諧運動關係


5:yangzon (高中職)張貼:2014-02-24 20:17:45: [回應上一篇]
恩恩我了解了 這裡我也看懂了謝謝

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