如上圖的轉軸,往右施以一力,假設摩擦力足夠大轉軸以純滾動方式運動
請問 轉軸會如何運動?
朝右轉動? 朝左轉動?
先想一想 你自己的答案 然後按下方模擬開始的按鈕 觀看
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以上動畫原始英文網頁
分析
如上圖的轉盤 取轉軸中心為參考點
假設轉盤與地面之間磨擦力是 f, 所施加外力為F 其 x, y 分量分別是 Fx, Fy
從牛頓運動定律可知: $F_x-f=m*a$
轉軸所受力矩為 $R*f-r*F=I*\alpha$
假設轉軸 以純滾動方式運動 因此 $a=R*\alpha$
$R*f-r*F=I*\alpha= I*\frac{a}{R}=\frac{I}{R} \frac{F_x-f}{m}=\frac{I}{m*R}(F_x-f)$
所以 $(R+\frac{I}{m*R})f=(r*F+\frac{I}{m*R}F_x)=(r+\frac{I}{m*R}\frac{F_x}{F})*F$
可得 $f=\frac{r+\frac{I}{m*R}\frac{F_x}{F}}{R+\frac{I}{m*R}}*F$
帶回計算力矩
$I*\alpha=R*f-r*F=R*\frac{r+\frac{I}{m*R}\frac{F_x}{F}}{R+\frac{I}{m*R}}*F-r*F=\frac{R*r+\frac{I}{m}\frac{F_x}{F}-r*R-\frac{I}{m}\frac{r}{R}} {R+\frac{I}{m*R}}*F=\frac{I\,(R*\frac{F_x}{F}-r)}{I+m*R^2}*F$
可得到 從轉軸與地面之間接觸點為 參考點的 力矩 方程式
$I+m*R^2$是以接觸點為參考點的轉動慣量(平行軸定理) 而 $(R*\frac{F_x}{F}-r)*F=(R\cos\theta-r)*F $ 則是相對該參考點的力矩
嘗試找出上圖中 $R\cos\theta-r$對應的長度!
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(黃福坤)
