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本討論串由 純玩玩而已 設定狀態為:討論進行中,尚未有結論
標題:找integrating factor
1:純玩玩而已榮譽點數3點 (大學理工科系)張貼:2013-06-21 12:01:41:



( 6xy2+12xy + y2 )dx + ( 6x2+2y )dy = 0

這是not exact,所以要找integrating factor

我一直找不出來 請幫忙一下thx!


2:Valkyrie榮譽點數182點 (大學物理系)張貼:2013-06-22 00:43:58: [回應上一篇]
我也找不出來, 我沒法把integrating factor變成只和x或y有關的function,
有空再研究一下tongueout



3:Richtiger Mann榮譽點數29點(大學理工科系)張貼:2013-06-23 00:03:00: [回應上一篇] ,本留言獲[]給賞金共 1 點
這個是刻意設計的題目= =
原式可被化為

$\displaystyle{-(y^2+6x^2y)'=y^2+6x^2y}$

然後設$\displaystyle{z(x)=y^2+6x^2y}$

解得
$\displaystyle{z(x)=c\cdot e^{-kx}}$

所以解是隱函數

$\displaystyle{y^2+6x^2y=c\cdot e^{-kx}}$

[ 這篇文章被編輯過: Richtiger Mann 在 2013-06-23 00:12:52 ]
4:Valkyrie榮譽點數182點 (大學物理系)張貼:2013-06-23 00:36:21: [回應上一篇]
所以...
這不是integrating factor啊~~~
一開始就想錯邊了難怪解不出:p
5:Hydrogen Dioxide(研究所)張貼:2013-07-01 20:48:36: [回應上一篇]


哈哈哈===
6:純玩玩而已榮譽點數3點 (大學理工科系)張貼:2013-07-19 12:30:29: [回應上一篇]


沒發現竟然有這關係...

我想說他是在integrating factor 的題目

請問如果一個題目你在同乘 μ 之後,你判斷 μ 不能只簡化成 x 或 y 的單一變數函數,也就是 μ=μ(x,y) ,那該怎麼做?

ex:  4xy+6y2+(2x2+6xy) y' = 0


7:Valkyrie榮譽點數182點 (大學物理系)張貼:2014-03-12 07:08:59: [回應第3篇]

Quote:

在 2013-06-23 00:03:00, Richtiger Mann 寫了:
這個是刻意設計的題目= =
原式可被化為

$\displaystyle{-(y^2+6x^2y)'=y^2+6x^2y}$

然後設$\displaystyle{z(x)=y^2+6x^2y}$

解得
$\displaystyle{z(x)=c\cdot e^{-kx}}$

所以解是隱函數

$\displaystyle{y^2+6x^2y=c\cdot e^{-kx}}$

[ 這篇文章被編輯過: Richtiger Mann 在 2013-06-23 00:12:52 ]



剛回來看一下發現次方數不對,
#1的題目化簡成你的寫法時會變成
-(y^2+6x^2 y)'=y^2+6xy^2
而不是
-(y^2+6x^2 y)'=y^2+6x^2 y

8:Valkyrie榮譽點數182點 (大學物理系)張貼:2014-03-12 08:10:07: [回應第6篇]

Quote:

在 2013-07-19 12:30:29, 純玩玩而已 寫了:

 

我想說他是在integrating factor 的題目

請問如果一個題目你在同乘 μ 之後,你判斷 μ 不能只簡化成 x 或 y 的單一變數函數,也就是 μ=μ(x,y) ,那該怎麼做?

ex:  4xy+6y2+(2x2+6xy) y' = 0




用integrating factor μ=μ(y/x)的話可化簡
首先要變成exact的話要符合下式
$M\mu _{y}+M\mu_{x}=N\mu _{x}+N\mu_{y}$ --- (1)
其中
M=4xy+6y2
N=2x2+6xy
可得
My=4x+12y
Nx=4x+6y
Nx-My=-6y

首先考慮x=0的情況下, 6y2=0, 所以y=0, 這是其中一種solution
那以下考慮x和y都非0的情況

然後Let t=y/x, 用chain rule把(1)改成
$t_{y}M\mu _{t}+M\mu_{x}=t_{x}N\mu _{t}+N\mu_{y}$ ---(2)
其中
$t_{y}=\frac{1}{x}$
$t_{x}=-\frac{y}{x^{2}}$
然後化簡(2)為
$\mu _{t}=(\frac{N_{x}-M_{y}}{t_{y}M-t_{x}N})\mu$

代入後可得
$\mu _{t}=(\frac{-6y}{4y+6\frac{y^{2}}{x}+2y+6\frac{y^{2}}{x}})\mu$
分子分母同除x
可得
$\mu _{t}=(\frac{-6t}{4t+6t^{2}+2t+6t^{2}})\mu$
化簡
$\mu _{t}=(\frac{-1}{1+2t})\mu$
這是First Order Linear Differential Equation, 用回通解公式解出integrating factor,
就可把原題目轉成exact的ODE, 再用exact ODE的通解方式就可解出隱函數的樣子

當時在忙沒再回應, 現在回來看看感覺大概是這樣

我覺得這題目應該有提示用t=y/x的,
我是認為如果你沒寫錯題目, 而μ不能化簡成x或y的函數,
那出題者一定有其他方式化簡μ, 像是
μ=μ(xy), μ=μ(y/x), μ=μ(x/y)...
把簡單的情況代入試做一下,
然後就解出來了

不過算是靠直覺去解......


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