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力學 標題:變速度圓周運動的加速度
1:abc175185195(大學理工科系)張貼:2012-08-10 13:20:15:

變速度圓周運動的總加速度等於向心加速度與切線加速度的向量合,我看過許多原文書都是直接告訴我們這個以及告訴我們這兩種加速度分別等於什麼,沒有看過如何從加速度的定義及幾何示意推倒出這個結果,我自己也推不出來,不知道有沒有人能試著推一次讓我了解它的數學推導?

也就是推導 A(總) = A(切線)+A(向心) = d│V│/dt(角度方向) - v^2/ R(弳方向)

A = dV/dt 開始



[ 這篇文章被編輯過: abc175185195 在 2012-08-10 13:20:42 ]
2:Valkyrie榮譽點數182點 (大學物理系)張貼:2012-08-10 16:16:05: [回應上一篇]

Quote:

在 2012-08-10 13:20:15, abc175185195 寫了:

變速度圓周運動的總加速度等於向心加速度與切線加速度的向量合,我看過許多原文書都是直接告訴我們這個以及告訴我們這兩種加速度分別等於什麼,沒有看過如何從加速度的定義及幾何示意推倒出這個結果,我自己也推不出來,不知道有沒有人能試著推一次讓我了解它的數學推導?

也就是推導 A(總) = A(切線)+A(向心) = d│V│/dt(角度方向) - v^2/ R(弳方向)

A = dV/dt 開始



[ 這篇文章被編輯過: abc175185195 在 2012-08-10 13:20:42 ]


$\vec{v}$

$=\frac{d}{dt}\vec{r}$

$=\frac{d\vec{r}}{ds}\frac{ds}{dt}$

$=\vec{T}\frac{ds}{dt}$


$\vec{a}$

$=\frac{d}{dt}\vec{v}$

$=\frac{d}{dt}(\vec{T}\frac{ds}{dt})$

$=\frac{d^{2}s}{dt^{2}}\vec{T}+(\frac{d}{dt}\vec{T})\frac{ds}{dt}$

$=a_{T}\vec{T}+(\frac{d}{ds}\vec{T})(\frac{ds}{dt})^{2}$

$=a_{T}\vec{T}+$(κ$\vec{N}$)$(|\vec{v}|)^{2}$

$=a_{T}\vec{T}+\frac{|\vec{v}|^{2}}{r}\vec{N}$

$=a_{T}\vec{T}+a_{N}\vec{N}$

自己推總是忘東忘西卡住lol ,
知道切線向量、法線向量的導數和圓的曲率,
剩下的就只是chain rule和product rule了。


[ 這篇文章被編輯過: Valkyrie 在 2012-08-10 16:17:08 ]


[ 這篇文章被編輯過: Valkyrie 在 2012-08-10 16:18:11 ]
3:abc175185195(大學理工科系)張貼:2012-08-10 16:47:30: [回應上一篇]

我剛剛找到的

http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=547531

這個好像不需要太深奧的數學


4:黃福坤(研究所)張貼:2012-08-11 00:33:02: [回應上一篇]
Quote:
變速度圓周運動的總加速度等於向心加速度與切線加速度的向量合,



加速度是向量,和運動方向相同方向的加速度稱為切線加速度,和切線方向垂直的加速度 稱為向心加速度. 這兩個加起來 不就是總加速度嗎 ?
從定義就可解決  !



5:cpyi榮譽點數2點 (高中職)張貼:2012-08-13 11:17:24: [回應第2篇]



可以問一下

${d\over{ds}}\vec{T}$

為啥會等於

${1\over{r}}\vec{N}$嗎


6:abc175185195(大學理工科系)張貼:2012-08-13 16:07:56: [回應第4篇]

物理觀念方面這的確是非常容易理解

但是似乎沒有幾本書會在數學方面做推導


7:Valkyrie榮譽點數182點 (大學物理系)張貼:2012-08-14 02:55:42: [回應上一篇]

Quote:

在 2012-08-13 16:07:56, abc175185195 寫了:

物理觀念方面這的確是非常容易理解

但是似乎沒有幾本書會在數學方面做推導





Thomas' Calculus有。 我提供的算法不限於圓周運動:D
你找到的解答中, 我看答者用的是polar coordinate在cartesian coordinate的表達法,
既然如此何不直接用polar coordinate推導? 我發現那更簡單。

$\vec{r}=r\hat{r}$

速度就是微分一次
$\vec{v}=\dot{r}\hat{r}+r\dot{\theta}\hat{\theta}$

$\dot{r}$是0

所以$\vec{v}=r\dot{\theta}\hat{\theta}$

加速度是再微分一次
$\vec{a}=({d\over{dt}}r\dot{\theta})\hat{\theta}-r\dot{\theta}^{2}\hat{r}$
$\dot{\theta}$就是ω
$r\dot{\theta}$就是|$\vec{v}$|。

這對數學的要求其實差不多多,
1. 認識極座標和其unit vector的微分, 2.product rule

Quote:

在 2012-08-13 11:17:24, cpyi 寫了:



可以問一下

${d\over{ds}}\vec{T}$

為啥會等於

${1\over{r}}\vec{N}$嗎






$\vec{T}$的量值恆等於1, 這導出一結果,

就是$d\vec{T}$垂直於$\vec{T}$, 即指向$\vec{N}$。

那個1/r來自曲率的定義。


[ 這篇文章被編輯過: Valkyrie 在 2012-08-14 03:01:01 ]
8:cpyi榮譽點數2點 (高中職)張貼:2012-08-14 14:14:26: [回應上一篇]

謝謝大大

我理解了


大大說提供的算法不限於圓周運動
$\dot{r}$是0 不是就說這是圓周運動了嗎?

 
9:Valkyrie榮譽點數182點 (大學物理系)張貼:2012-08-14 15:08:15: [回應上一篇]

Quote:

在 2012-08-14 14:14:26, cpyi 寫了:

謝謝大大

我理解了


大大說提供的算法不限於圓周運動
$\dot{r}$是0 不是就說這是圓周運動了嗎?

 


我指的是回應2, 回應2在把曲率代入成1/r之前都是普遍適用在任何運動的。
回應7中的算法是把回應3提供的算法用極座標寫出來而已, 只適用在圓周運動。

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