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力學 標題:絕熱膨脹,證明
1:純玩玩而已榮譽點數3點 (大學理工科系)張貼:2012-03-24 23:15:57:

圖1:

npics/20120324_IMAG0248.jpg

圖2:

npics/20120324_IMAG0247.jpg

我想問,圖1中「因為氣體的體積增加量很小,我們可以假定在此過程中,氣體施於活塞的壓力p為一定值

;在此假設下,氣體膨脹時所做的功為 dW= pdV。」

這句話是否有問題,既然假設p為一定值,那麼不就表示絕熱膨脹這條只能用在p為定值上?

再者就算不是定值,dEint = Q - p dV,還是可以使用,我懷疑翻譯者強調 p為定值的意義?

 

 



[ 這篇文章被編輯過: 純玩玩而已 在 2012-03-24 23:16:27 ]
2:黃福坤(研究所)張貼:2012-03-24 23:53:56: [回應上一篇]
作功 $dW=\vec{F}\cdot d\vec{s}=P A\, ds =P dV$
以上適用於 氣體體積變化時作功的計算
以上所謂視 P為定值 指的是 dV微小體積變化的過程




3:Valkyrie榮譽點數182點 (大學物理系)張貼:2012-03-25 00:16:33: [回應第1篇]



P為定值, dP=0 XD 怎可能~

我想他說的是dV很小時, 把P當定值,
但dV很大時, P不是定值, 所以後面才會有對P的積分。

給你另一個證明:


4:純玩玩而已榮譽點數3點 (大學理工科系)張貼:2012-03-25 00:41:54: [回應第2篇]


1.圖中f 指的是?

2.我想他說的是dV很小時, 把P當定值,   是指dv很小時,可以看成等壓膨脹?

但dV很大時, P不是定值, 所以後面才會有對P的積分。  是指,dv很大時,就要使用絕熱膨脹?

如果是,那麼書上寫因為氣體的體積增加量很小,我們可以假定在此過程中,氣體施於活塞的壓力p為一定值;在此假設下,氣體膨脹時所做的功為 dW= pdV。

這句描述是否有點問題?因為他寫在此假設下,不就是在 P為定值的假設下? 

 3.黃老師在2樓寫的以上所謂視 P為定值 指的是 dV微小體積變化的過程

是否能提示得清楚一點,謝謝



[ 這篇文章被編輯過: 純玩玩而已 在 2012-03-25 00:46:08 ]
5:Valkyrie榮譽點數182點 (大學物理系)張貼:2012-03-25 03:07:45: [回應上一篇] ,本留言獲[]給賞金共 2 點

Quote:

在 2012-03-25 00:41:54, 純玩玩而已 寫了:

1.圖中f 指的是?

2.我想他說的是dV很小時, 把P當定值,   是指dv很小時,可以看成等壓膨脹?

但dV很大時, P不是定值, 所以後面才會有對P的積分。  是指,dv很大時,就要使用絕熱膨脹?

如果是,那麼書上寫因為氣體的體積增加量很小,我們可以假定在此過程中,氣體施於活塞的壓力p為一定值;在此假設下,氣體膨脹時所做的功為 dW= pdV。

這句描述是否有點問題?因為他寫在此假設下,不就是在 P為定值的假設下? 

[ 這篇文章被編輯過: 純玩玩而已 在 2012-03-25 00:46:08 ]





1. f是指自由度, 和內能U的關係是fNkT/2
N是原子數, k是波爾茲曼常數

以下不重要, 和你的問題沒關
理想氣體的自由度是3
因為原子只有幾種獨立存能量的方法
x方向的動能
y方向, z方向。

雙原子的氣體在室溫下自由度是5, 因為多了兩個方向可轉動(由於一些我也不清楚的量子物理的理由, xyz三方向中, 雙原子份子的兩個原子的質心連線上的軸是沒有轉動動能的)

極低溫(我記得是0~100K左右)時自由度是3(不能轉動, 也是量子問題)
極高溫(2000K以上)時自由度為7, 因為多了兩原子間的震動動能和勢能可存能量(也是因為一些量子理由, 在室溫時這兩個自由度"凍結"了, 不能用)

以上不重要, 和你的問題沒關

2. dV很小時, 可當成等壓沒錯, 小到怎小法? 就dV趨向無限小~ 在整個證明中, 我覺得那句是多餘的, 和後面完全沒關, 因為他後面是要推論出P和V無論怎變, 變多少, PVgamma都是常數。

絕熱和P是不是常數沒關, 絕熱是Q=0, 等壓是指PdV在積分時可把P描出來, 和你書中的證明幾乎完全沒關。 只是他一開始說考慮dV很小, 才有P是常數的說法, 但後面的推論要擴展到V的改變不論大小, 都要得出PVgamma=常數, 所以他用了積分, 單是那一步已表示他後面的推論和設dV很小已經沒關了。

dV很大時要用積分
因為dE=Q+PdV中, dV一定要很小才成立, 要擴展這式到所有情況, 就要用積分。 他一開始說dV很小, 可當P是常數那段只是想引用dE=Q+PdV出來而已, 和後面的證明沒關, 後面已在考慮P會改變的情況了。

簡單來說, 不寫那句P為定值比較好, 單是寫dV很小已經夠, 可引用dE=Q+PdV了, 多寫反而讓人困擾, 以為後面都是等壓。
[addsig]
這裡是黃教授說的東西



後面有說把每個微分的過程加起來就沒問題了~

所以P不是常數不是問題, 主要目的是想引用dW=PdV

要留意兩點, W的正負, 在不同定義中W的正負是不同的。
第二點就是圖中說的quasistatic(準靜態), 所有過程都是準靜態下才成立。

書名是An Introduction to Themal Physics, Addison Wesley, 你可以買本中文版來參考一下, 你在讀的東西應該在這書裡都有。 基本要求是會基本的微積分, 因為裡面很多東西都用到。



6:黃福坤(研究所)張貼:2012-03-25 11:01:41: [回應上一篇]
注意 我之前寫 $dW= F \, ds = P dV$
而不是寫 $W= F \, ds = P dV$  就是擔心造成 誤解

以上關係 適用於氣體膨脹過程 一小段體積變化($dV\approx 0$)時 ()作功的計算
真正要算做功時 需將上式積分
也就是整個過程的作功 $W=\int dW=\int PdV$
因為 $dV$僅對應 過程中一個很微小的小段,因此該小段過程中 壓力可視為常數
而積分 則是將每一段的結果加起來 (整個絕熱過程前後壓力不可能是常數)
畫 P-V圖時 絕熱過程曲線下對應的面積就是 整個過程所作的功
但是 $PdV$則是將 P-V圖 切成很多段 微小的dV 區間, 每個區間寬度夠窄 則壓力可視為常數




7:純玩玩而已榮譽點數3點 (大學理工科系)張貼:2012-03-25 13:14:33: [回應上一篇]

是指 每一個瞬間都視為 準靜狀態?


8:Valkyrie榮譽點數182點 (大學物理系)張貼:2012-03-25 13:37:09: [回應上一篇]

Quote:

在 2012-03-25 13:14:33, 純玩玩而已 寫了:

是指 每一個瞬間都視為 準靜狀態?




是... 不過不會這樣說, 因為是整個過程都是準靜態(自然無個瞬間都是了), 不是準靜態的話系統內氣壓/溫度不均, 就不是well defined了, 都不平均, 你怎朋1一個數字代表它們所有粒子的特性?

而P只能在瞬間視為常數。

我看你的圖沒提起所有過程是準靜態過程所以附上了, 其實和你原本的問題沒甚麼關係的~


9:TJkid榮譽點數9點(國中)張貼:2012-06-01 22:51:05: [回應第7篇]

阿這不就是微積分...

[ 這篇文章被編輯過: TJkid 在 2012-06-01 22:51:52 ]


[ 這篇文章被編輯過: TJkid 在 2012-06-01 22:53:37 ]
10:Hydrogen Dioxide(研究所)張貼:2012-06-10 15:44:57: [回應第5篇]


一、你很多的描述似是而非(嚴格來講是錯誤的),我不是批評你,請你去看一下黃老師給你的回應。

二、關於熱系統中分子為甚麼會比平移時多幾個自由度,這比較是統計物理學的討論(如果你想知道為什麼必須去修統力),而非你說的是由於量子物理的緣故。

Quote:

在 2012-03-25 03:07:45, Valkyrie 寫了:

Quote:

在 2012-03-25 00:41:54, 純玩玩而已 寫了:

1.圖中f 指的是?

2.我想他說的是dV很小時, 把P當定值,   是指dv很小時,可以看成等壓膨脹?

但dV很大時, P不是定值, 所以後面才會有對P的積分。  是指,dv很大時,就要使用絕熱膨脹?

如果是,那麼書上寫因為氣體的體積增加量很小,我們可以假定在此過程中,氣體施於活塞的壓力p為一定值;在此假設下,氣體膨脹時所做的功為 dW= pdV。

這句描述是否有點問題?因為他寫在此假設下,不就是在 P為定值的假設下? 

[ 這篇文章被編輯過: 純玩玩而已 在 2012-03-25 00:46:08 ]





1. f是指自由度, 和內能U的關係是fNkT/2
N是原子數, k是波爾茲曼常數

以下不重要, 和你的問題沒關
理想氣體的自由度是3
因為原子只有幾種獨立存能量的方法
x方向的動能
y方向, z方向。

雙原子的氣體在室溫下自由度是5, 因為多了兩個方向可轉動(由於一些我也不清楚的量子物理的理由, xyz三方向中, 雙原子份子的兩個原子的質心連線上的軸是沒有轉動動能的)

極低溫(我記得是0~100K左右)時自由度是3(不能轉動, 也是量子問題)
極高溫(2000K以上)時自由度為7, 因為多了兩原子間的震動動能和勢能可存能量(也是因為一些量子理由, 在室溫時這兩個自由度"凍結"了, 不能用)

以上不重要, 和你的問題沒關

2. dV很小時, 可當成等壓沒錯, 小到怎小法? 就dV趨向無限小~ 在整個證明中, 我覺得那句是多餘的, 和後面完全沒關, 因為他後面是要推論出P和V無論怎變, 變多少, PVgamma都是常數。

絕熱和P是不是常數沒關, 絕熱是Q=0, 等壓是指PdV在積分時可把P描出來, 和你書中的證明幾乎完全沒關。 只是他一開始說考慮dV很小, 才有P是常數的說法, 但後面的推論要擴展到V的改變不論大小, 都要得出PVgamma=常數, 所以他用了積分, 單是那一步已表示他後面的推論和設dV很小已經沒關了。

dV很大時要用積分
因為dE=Q+PdV中, dV一定要很小才成立, 要擴展這式到所有情況, 就要用積分。 他一開始說dV很小, 可當P是常數那段只是想引用dE=Q+PdV出來而已, 和後面的證明沒關, 後面已在考慮P會改變的情況了。

簡單來說, 不寫那句P為定值比較好, 單是寫dV很小已經夠, 可引用dE=Q+PdV了, 多寫反而讓人困擾, 以為後面都是等壓。


這裡是黃教授說的東西



後面有說把每個微分的過程加起來就沒問題了~

所以P不是常數不是問題, 主要目的是想引用dW=PdV

要留意兩點, W的正負, 在不同定義中W的正負是不同的。
第二點就是圖中說的quasistatic(準靜態), 所有過程都是準靜態下才成立。

書名是An Introduction to Themal Physics, Addison Wesley, 你可以買本中文版來參考一下, 你在讀的東西應該在這書裡都有。 基本要求是會基本的微積分, 因為裡面很多東西都用到。







11:Valkyrie榮譽點數182點 (大學物理系)張貼:2012-10-24 16:36:17: [回應上一篇]

Quote:

在 2012-06-10 15:44:57, Hydrogen Dioxide 寫了:
一、你很多的描述似是而非(嚴格來講是錯誤的),我不是批評你,請你去看一下黃老師給你的回應。

二、關於熱系統中分子為甚麼會比平移時多幾個自由度,這比較是統計物理學的討論(如果你想知道為什麼必須去修統力),而非你說的是由於量子物理的緣故。





Contrary to the classical equipartition theorem, at room temperature,
the vibrational motion of molecules typically makes negligible
contributions to the heat capacity. This is because these degrees of freedom are frozen because the spacing between the energy eigenvalues exceeds the energy corresponding to ambient temperatures (kT).
In the following table such degrees of freedom are disregarded because
of their low effect on total energy. However, at very high temperatures
they cannot be neglected. WIKI-Degrees of freedom (physics and chemistry)

統計物理有用到古典和量子物理, 然後古典的解釋不到frozen degree... 剩下的是量物的事沒錯啊...

或者在這學校網:
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/sm1/lectures/node69.html
The equipartition theorem (and the whole classical approximation) is only valid
when the typical thermal energy $k\,T$ greatly exceeds the spacing between quantum
energy levels
. Suppose that the temperature is sufficiently low that this
condition is not satisfied for one particular molecular degree of freedom.
In fact, suppose that $k\,T$ is much less than the spacing between
the energy levels.
According to Sect. 7.9, in this situation the degree of freedom only contributes
the ground-state energy, $E_0$, say, to the mean energy of the molecule. The
ground-state energy can be a quite complicated
function of the internal properties of the
molecule, but is certainly not a function of the temperature, since this is
a collective property of all molecules. It follows that the contribution to
the molar heat capacity is









\begin{displaymath}
<BR>\frac{1}{\nu}\left(
<BR>\frac{\partial [N E_0]}{\partial T}\right)_V = 0.
<BR>\end{displaymath}
(491)



Thus, if $k\,T$ is much less than the spacing between the energy levels then
the degree of
freedom contributes nothing at all
to the molar heat capacity. We say that this particular
degree of freedom is frozen out.

這毫無疑問是量力的問題

有時間我會看統計力學, 謝謝你的建議, 我也想知道更多量子效應和熱力學的關係, 如果不用定期交報告和功課


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