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聲/波動 標題:關於有效位數和實驗數據處理的想法
1:朱書寬 (高中職)張貼:2010-12-05 19:33:49:

最近在研究一些有關實驗數據處理的問題,在買了一些書後大都已經獲得解答,然而還有一個最關鍵的問題,而各家的說法也有所出入,那就是有效位數

有效位數的四則運算應該是最基本的吧,「加減運算最末數齊,乘除運算有效位數齊」應該不失為簡便有效的方法

但當我碰到指數、對數、三角函數時,我卻是一頭霧水了

一開始我以為他們的規則應該和乘除運算一樣吧(因為有人是這麼說的),但當我在處理數據時,部分數據會因此而失真而有效位數不有效

我開始翻閱一些書籍並上網查資料,發現大家的說法都不相同

有些說:﹝《大學物理實驗》高等教育出版社 作者:成正維﹞

    對數函數運算結果的有效數字中,小數點後面的位數取成與真數的位數相同

    指數函數運算結果的有效數字中,小數點後的位數取成與指數中小數點後的位數相同

    三角函數結果中有效數字的取法,可採用試探法,即將自變量欠準位上、下波動一個單位,觀察結果在哪一位上波動,結果的欠準位就取在該位上

     有些說:﹝《更高更妙的物理 實驗篇》浙江大學出版社 作者:沈晨 許炎橋 袁張瑾﹞

    對數運算時,答案尾數的位數相同,如 ln25.4=3.235

    三角函數運算時,根據角度的精度是1' , 10" 或 1",決定函數值使用四位表、五位表與六位表取值

    一般情況下,$e^x$的有效位數與x的有效數字位數相同

   有些說:﹝維基百科﹞

    取對數(不管是常用對數還是自然對數),按照有效數字的個數來確定小數點後的位數(位數等於個數)

    取反對數,按照小數點後的位數來確定有效數字的個數(個數等於位數)   ←←反對數應該是說指數吧!

    有些說:﹝某網站 我忘記了﹞

    指數對數三角函數的有效位數使用試探法,將自變量有效位數最末位的數字上下試探一位,並觀察應變量在哪一位上有波動,取其為有效位數最末位

 當我看到這麼多種說法時,我也開始想怎樣才是合理的,以下是我的想法

 

指數:

令$y=e^x$,則$\frac{\bigtriangleup y}{y}= \bigtriangleup x$,若$\bigtriangleup x=0.1$,則應該很容易看出y的有效位數是兩位吧

x以$13.1\pm0.1$做舉例,按計算機的結果是y=488942.4146,$\bigtriangleup y=48894.24146$

因為可疑的我們只留一位,因此$y\pm\bigtriangleup y=(4.9\pm0.5)\times 10^4$

倘若今天$\bigtriangleup x=0.01$

則$y\pm\bigtriangleup y=(4.89\pm0.05)\times 10^4$

結論:指數y的有效位數是x的小數到第幾位加一

 

對數:

令y=lnx  ,則 $\bigtriangleup y= \frac{\bigtriangleup x}{x}$,若x有五位有效位數,則$\bigtriangleup y$的小數點可準確到第四位

x以 $1.0000\times 10^4 \pm1$為例,按計算機可得y=9.210340372,$\bigtriangleup y=0.0001$

因為可疑的位數只取一位,因此$y\pm\bigtriangleup y=9.2103\pm0.0001$

若今天$\bigtriangleup x=10$

則$y\pm\bigtriangleup y=9.210\pm0.001$

結論:對數的小數點後面的位數真數的有效位數減一

 

三角函數:

這個我認為最複雜啦,應該用試探法最保險吧,但cos 和sin 還是有一些規律的

以$y=cosx$為例,x適度度量,則$\bigtriangleup y=sinx \bigtriangleup x$,一般而言$\bigtriangleup x$為$0.1^\circ$

 以下將$\bigtriangleup y$(做運算時已將$\bigtriangleup x$換成徑度量)列表

$x$                                     $\bigtriangleup y$                                     y                                     $y\pm\bigtriangleup y$

$0.0^\circ$                         $0.00\times10^-4$                       $1.000000$                       $1.0000\pm0.0000$            

$10.0^\circ$                       $3.03\times10^-4$                       $0.984807$                       $0.9848\pm0.0003$

$20.0^\circ$                       $5.97\times10^-4$                       $0.939693$                       $0.9397\pm0.0006$

$30.0^\circ$                       $8.73\times10^-4$                       $0.866025$                       $0.8660\pm0.0009$

$40.0^\circ$                       $1.12\times10^-3$                       $0.766044$                       $0.766\pm0.001$

$50.0^\circ$                       $1.34\times10^-3$                       $0.642787$                       $0.643\pm0.001$

$60.0^\circ$                       $1.51\times10^-3$                       $0.500000$                       $0.500\pm0.002$

$70.0^\circ$                       $1.64\times10^-3$                       $0.342020$                       $0.342\pm0.002$

$80.0^\circ$                       $1.72\times10^-3$                        $0.173648$                      $0.174\pm0.002$

$90.0^\circ$                       $1.75\times10^-3$                       $0.000000$                       $0.000\pm0.002$

[ 這篇文章被編輯過: 朱書寬 在 2010-12-05 22:13:56 ] [ 這篇文章被編輯過: 朱書寬 在 2010-12-05 22:14:31 ] [ 這篇文章被編輯過: 朱書寬 在 2010-12-05 22:15:25 ] [ 這篇文章被編輯過: 朱書寬 在 2010-12-05 22:16:09 ] [ 這篇文章被編輯過: 朱書寬 在 2010-12-05 22:16:47 ] [ 這篇文章被編輯過: 朱書寬 在 2010-12-05 22:19:08 ] [ 這篇文章被編輯過: 朱書寬 在 2010-12-05 22:19:45 ]

[ 這篇文章被編輯過: 朱書寬 在 2010-12-05 22:20:32 ]
2:朱書寬 (高中職)張貼:2010-12-05 22:47:03: [回應上一篇]

由以上數據可知

在$30^\circ$到$90^\circ$之間,cosx的有效位數和x相同

在$20^\circ$到$30^\circ$之間,因為四捨五入,勉強使用上述法則

在$10^\circ$到$30^\circ$之間,cosx的有效位數可取為比x的有效位數多加一位

在$0^\circ$到$10^\circ$之間,我認為以上方法不適用,看$0^\circ$的數據$y\pm\bigtriangleup y=1.0000\pm0.0000$會不會太扯了,我建議用兩種方法

其一:利用試探法,將x以0.1和-0.1代入,則y為0.999998和0.999998,取誤差為0.000002,因此$y\pm\bigtriangleup y=1.000000\pm0.000002$,但因為cos不大於一,我想$y\pm\bigtriangleup y=0.999999\pm0.000001$會比較好吧

其二:利用泰勒展開到二次項,則$\bigtriangleup y= \frac{cos0.0^\circ}{2!}\bigtriangleup x^2=1.523\times10^-6$,誤差取$0.000002$應該可以吧,同樣由於上述原因$y\pm\bigtriangleup y=0.999999\pm0.000001$

在這樣的情況下y的有效位數就為6位

 

其實我以上所使用的都是誤差傳遞,並利用可疑數只有一位的方法來決定有效位數,但我的$\bigtriangleup x$都有刻意選定,若今天為其他數時,有效位數的取法可能不太一樣,但我認為「先算出誤差,再決定有效位數」應該是沒錯的吧﹝我猜的(→_→) ﹞

但在乘除法則時,誤差傳遞出來的結果會違反「可疑數只有一位」

所以我不知道「先利用誤差傳遞算出誤差,再決定有效位數」的方法是否都適用

還有一點想要題的是

如果今天有一個二維數據,x和y的有效位數皆為四位,若線性回歸的結果是

斜率m2.54323334  斜率m標準差 0.053342 截距b2.883742  截距b標準差0.000144

到底是利用

1.「可疑數只有一位」的方法決定出$m\pm\bigtriangleup m=2.54\pm0.05$和$b\pm\bigtriangleup b=2.8837\pm0.0001$

2.斜率和截距的有效位數和x,y有效位數最小的一樣,因此$m\pm\bigtriangleup m=2.543\pm0.053$和$b\pm\bigtriangleup b=2.884\pm0.001$(不知直接將0.0001無條件進位到0.001是否正確)

篇幅有點長,這些問題困擾我還蠻久的,希望有人可以耐心的讀完我的問題並給予建議或方法,不勝感激!

 

[ 這篇文章被編輯過: 朱書寬 在 2010-12-05 22:54:28 ]

[ 這篇文章被編輯過: 朱書寬 在 2010-12-05 23:15:19 ]
3:黃福坤(研究所)張貼:2010-12-07 14:35:30: [回應上一篇]

假設目前要計算兩點的質心, 例如 x1=3.00±0.03,  x2=5.00±0.05
1. 若兩質點 質量都相同,忽略質量可能的誤差則質心 的結果 你會如何標示?
2. 若兩質點質量分別是 m1=3.00±0.06 kg, m2=10.00±0.10 kg 則質心 的結果 你會如何標示?

關於取函數後的誤差分析, 假設你真的做實驗 測量角度θ 之後要分析 sinθ 的測量後誤差
則其相同精密度誤差, 原本就會因為角度θ不同 造成 sinθ 的誤差不同
誤差傳遞也告訴你 如此!
為何做實驗時 不直接測量 y=sinθ 而卻要測量 θ 呢?

又如 y=ex, 則 x 不會是某個有單位的物理量 ,x 應該會對應 至少兩個有相同單位物理量的比值 ,還有 怎樣的情況下 你會想知道 y=ex的誤差呢? 代表怎樣的意義
以一個高中生而言會提出以上問題 真的很不簡單 表示你很認真
可是既然想討論物理, 就從物理實際的觀點來看問題 !biggrin


4:朱書寬 (高中職)張貼:2010-12-07 22:01:41: [回應上一篇]

Quote:
在 2010-12-07 14:35:30, 黃福坤 寫了: 假設目前要計算兩點的質心, 例如 x1=3.00±0.03,  x2=5.00±0.05 1. 若兩質點 質量都相同,忽略質量可能的誤差則質心 的結果 你會如何標示? 2. 若兩質點質量分別是 m1=3.00±0.06 kg, m2=10.00±0.10 kg 則質心 的結果 你會如何標示? 關於取函數後的誤差分析, 假設你真的做實驗 測量角度θ 之後要分析 sinθ 的測量後誤差則其相同精密度誤差, 原本就會因為角度θ不同 造成 sinθ 的誤差不同誤差傳遞也告訴你 如此! 為何做實驗時 不直接測量 y=sinθ 而卻要測量 θ 呢? 又如 y=ex, 則 x 不會是某個有單位的物理量 ,x 應該會對應 至少兩個有相同單位物理量的比值 ,還有 怎樣的情況下 你會想知道 y=ex的誤差呢? 代表怎樣的意義以一個高中生而言會提出以上問題 真的很不簡單 表示你很認真 可是既然想討論物理, 就從物理實際的觀點來看問題 !

1.關於第一個問題,我會如下計算

$\frac{(3.00\pm0.03)+(5.00\pm0.05)}{2}=\frac{(3.00+5.00)\pm\sqrt{0.03^2+0.05^2}}{2}=\frac{8.00\pm0.06}{2}=4.00\pm0.03$

2.第二個問題比較麻煩了

如果我偷懶的話

$x_c\pm\Delta x_c=\frac{(3.00\pm0.06)(3.00\pm0.03)+(10.00\pm0.10)(5.00\pm0.05)}{(3.00\pm0.06)+(10.00\pm0.10)}=\frac{(9.00\pm0.20)+(50.0\pm0.7)}{13.00\pm0.12}=\frac{59.0\pm0.7}{13.00\pm0.12}=4.54\pm0.07$

不過這應該是錯的

嚴謹的話是下面的

$x_c=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}=4.53846$

$\Delta x_c=\sqrt{(\frac{m_1}{m_1+m_2}\bigtriangleup x_1)^2+(\frac{m_2}{m_1+m_2}\bigtriangleup x_2)^2+(\frac{m_2(x_1-x_2)}{(m_1+m_2)^2}\bigtriangleup m_1)^2+(\frac{m_1(x_2-x_1)}{(m_1+m_2)^2}\bigtriangleup m_2)^2}=0.0398$

$x_c\pm \Delta x_c=4.54\pm0.04$

這是我的答案,可是我一直有一個疑慮,那就是把$m_2$寫成$10.0\pm0.1$會不會更好呢?

3.關於sinθ 的問題,我了解教授的想法了。而有關指數的問題,我覺得最常會碰到的問題就是半衰期吧,實驗可能不太會用到,但如果是考題的話就常出現了,題目會給你時間和半衰期,然後問你還剩多少

4.我覺得實驗最常用到的函數對數大概是少不掉的,而實驗也最注重有效位數了,可是在那麼多說法中,我不知道我這麼做是不是對的(利用誤差傳遞,然後取一位可疑位)

5.關於斜率和截距有效位數的問題,是不是在正式文刊中也適用「利用誤差傳遞,然後取一位可疑位」,還是說和xy中有效位數最少的一樣

6.我想追加一個問題,在教授所寫的「實驗數據的處理與分析」中,斜率和截距的標準差推導中,已認定每個數據點y的標準差都一樣了,可是常常它們的標準差都不一樣,那時公式是不是就不適用了?

非常感激教授能撥冗回答我的問題!

[ 這篇文章被編輯過: 朱書寬 在 2010-12-07 22:55:46 ] [ 這篇文章被編輯過: 朱書寬 在 2010-12-07 22:57:43 ] [ 這篇文章被編輯過: 朱書寬 在 2010-12-07 23:00:30 ] [ 這篇文章被編輯過: 朱書寬 在 2010-12-07 23:12:50 ] [ 這篇文章被編輯過: 朱書寬 在 2010-12-07 23:40:49 ]

[ 這篇文章被編輯過: 朱書寬 在 2010-12-07 23:47:13 ]
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