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力學 標題:三度空間中的單擺
1:黃福坤(研究所)張貼:2009-09-06 00:50:08:
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以下動畫 模擬三度空間中的理想單擺 (不考慮阻尼)
假設單擺與鉛直線的夾角是 $\theta$ 其對應角頻率 $\omega=\frac{d\theta}{dt}$
將單擺投影到水平面上時 其與水平面上 X軸的夾角定義為 $\phi$, 其對應角速率 $\dot\phi=\frac{d\phi}{dt}$

以上狀況 的運動方程式 如下 (大二理論力學)
Lagrange equation $L=T-V = \tfrac{1}{2}m(L\dot\theta)^2+\tfrac{1}{2}m (L\sin\theta \dot{\phi})^2- (-mgL\cos\theta)$
由 $\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}})-\frac{\partial L}{\partial \theta}=0$ 可得到 $\ddot\theta=\sin\theta\cos\theta\dot{\phi}^2-\frac{g}{L}\sin\theta$   

由 $\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}})-\frac{\partial L}{\partial \phi}=0$ 可得到 $ m L^2 \sin\theta^2 \dot{\phi}=const$ 這對應角動量守恆

以下則是對應的模擬
當沒有勾選  circular loop 時 , 單擺維持與水平面上運動 (此時不是單擺 而是水平面圓周運動)
$\omega=0$. 且 $\dot{\phi}=\sqrt{\frac{g}{L\cos\theta}}$
若 除去勾選 後 可用拉桿 改變週期  $T=\frac{2\pi}{\dot{\phi}}$ ,
你會發現單擺會在不同 z處上下擺動
此時你也可按下 暫停鍵後 用滑鼠拖動質點可改變擺長


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