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標題:錐體體積跟球體表面積
1:Deiruty榮譽點數13點 (托兒所)張貼:2009-06-19 22:08:28:地點 中國香港九龍

我想問問可不可以證明為甚麼錐體的體積是柱體的1/3?(不直接量度的話)

還有就是球體的面積是4pi radius square,

是怎樣知道球體的表面積是等於4個圓形面積的??


2:黃福坤(研究所)張貼:2009-06-19 22:41:22:地點 台灣台北 [回應上一篇]
可以 但是需要用到微積分

半徑R的圓球面 取math_failure (math_image_error): \theta 為和z軸的夾角
想像球面對應 角度\theta\theta + d\theta之間 
想像將沿著水平方向切成一段段會是一段段圓形薄片 (每一段和圓心夾角為d\theta
則角度\theta\theta + d\theta之間對應表面積 dA=2\pi R \sin\theta * Rd\theta
所以球面面積A=\int_{0}^{\pi} 2\pi R sin\theta * Rd\theta = -2\pi R^2 \cos\theta|_0^{\pi}=4\pi R^2

3:牛角尖榮譽點數67點(大學理工科系)張貼:2009-06-20 00:44:04:地點 台灣台北 [回應上一篇] ,本留言獲[]給賞金共 1 點

把圓錐體 切成N個薄圓片, 其中 底圓為最大圓片 ,

各個薄圓片中, 所需求的成份 取為底圓的(k/N)^2 , (從 k=1 到 k=N )

薄圓片總加成
[(1/N)^2+(2/N)^2+(3/N)^2+(4/N)^2+.+.+.+.+.+(N/N)^2] / N
= 1^2+2^2+....+N^2 / N^3
=N(N+1)(2N+1)/6N^3

當N趨於無窮大, 即為圓錐體與圓柱體的體積比率 1/3


4:Deiruty榮譽點數13點 (托兒所)張貼:2009-06-20 09:51:02:地點 中國香港九龍 [回應上一篇]

黃教授,您有空的時候,

可不可以畫個圖來看看,不明白....

PS學微積分需要哪些基本數學知識呢?

 

關於錐體

我現在只明白直角3角柱體可以切出3個同底的錐體

 

(k/N)^2 , (從 k=1 到 k=N )

為甚麼是(k/N)^2,

『^』號是甚麼意思...

 


5:Hydrogen Dioxide (研究所)張貼:2009-06-21 00:41:29:地點 台灣高雄 [回應第1篇]
Quote:
在 2009-06-19 22:08:28, Deiruty 寫了:

我想問問可不可以證明為甚麼錐體的體積是柱體的1/3?(不直接量度的話)

還有就是球體的面積是4pi radius square,

是怎樣知道球體的表面積是等於4個圓形面積的??


你不能這樣解釋球的表面積吧 =四個圓形面積 沒有這樣解釋的

你這樣是在倒果為因 懂嗎?

該問題要以微積分來算


6:Hydrogen Dioxide (研究所)張貼:2009-06-21 01:53:01:地點 台灣高雄 [回應第4篇] ,本留言獲[]給賞金共 1 點
恩 我說清楚一點好了

若你以圓的半徑為固定軸 去轉一圓圈的話 會轉出一球面

圓週長=2pi*r (很像轉的"長度")

可是你轉圓圈 會有角度變化 0~180度 這角度要放在|∫dz | (很像轉的"寬度")裡面去積分

∫rsin θ dθ = -rcosθ =2r

cos0=1 , cos180=-1   =>2 (積分上下限)

所以 長*寬=面積=4pi*r2

是你轉出來的球面面積 這問題用這樣子想 可能比較圖像一點喔

其實(你大學會學到)向量分析會交 : rcosθ = z 所以其實不管你怎麼轉 都是以 |z| 軸在轉 (也是物理上的習慣啦~)

|∫dz |

=|∫d(rcosθ ) |  = r |∫dcosθ | = |∫rsin θ dθ |



[ 這篇文章被編輯過: Hydrogen Dioxide 在 2009-06-21 01:56:20 ]
7:黃福坤(研究所)張貼:2009-06-21 09:38:05:地點 台灣台北 [回應第3篇]

幫忙轉數學式(本討論區可用LaTeX的指令顯示數學式詳細可參考 http://en.wikipedia.org/wiki/Math_markup

上下標也可利用編輯器上下標的功能

Quote:

在 2009-06-20 00:44:04, 牛角尖 寫了:

把圓錐體 切成N個薄圓片, 其中 底圓為最大圓片 ,


各個薄圓片中, 所需求的成份 取為底圓的(k/N)2 , (從 k=1 到 k=N )


薄圓片總加成
[(1/N)^2+(2/N)^2+(3/N)^2+(4/N)^2+.+.+.+.+.+(N/N)^2] / N 
= 1^2+2^2+....+N^2 / N^3
=N(N+1)(2N+1)/6N^3


當N趨於無窮大, 即為圓錐體與圓柱體的體積比率 1/3





8:牛角尖榮譽點數67點(大學理工科系)張貼:2009-06-21 12:05:31:地點 台灣台北 [回應第4篇] ,本留言獲[]給賞金共 2 點

勞駕教授大人, 真抱歉!

Quote:
在 2009-06-20 09:51:02, Deiruty 寫了:  ....為甚麼是(k/N)^2,『^』號是甚麼意思...

『^』號是次方的意思.一般用於鍵盤輸入程式,並不用於書寫...
『^2』為平方, 『^3』為立方, 『^(1/2)』為開根號.....


9:Hydrogen Dioxide (研究所)張貼:2009-06-21 16:25:55:地點 台灣高雄 [回應第1篇]

Quote:
在 2009-06-19 22:08:28, Deiruty 寫了:

可不可以證明為甚麼錐體的體積是柱體的1/3?


關於追體的問題 我絕得牛角尖的方法不錯

而我是這樣想的

微積分方法

柱子 很簡單 不用積分 直接 底面積*高=\pi*R^2  \times H

追體比較怪了

這要想像 追體有無窮多個小線圈圈組成

每個縣圈長度 2 \pi r   r={ro,r1,r2,r3,.....r}

每圈面積 \pi r^2

每個縣圈上升要去接下一個線圈的時候 會升高r sin \theta \approx r\theta \approx dr的高度

\theta << 1sin \theta \approx \theta r碰到一個極小的東西 看成dr

體積=\int _{r=0} ^{r=R}  \pi r^2 dr =\frac{\pi R^3}{3}..................(1)

因為你要比較的是 兩個底面積 一樣 高度也一樣的 只是分別是柱和追體

所以 之前\pi*R^2  \times H其實H是∫dr=R

=> \pi*R^3....................(2)

(1)/(2)=1/3   => 柱子是錐體的體積的3倍

[ 這篇文章被編輯過: Hydrogen Dioxide 在 2009-06-21 16:27:19 ]

[ 這篇文章被編輯過: Hydrogen Dioxide 在 2009-06-21 16:31:19 ]
10:Deiruty榮譽點數13點 (托兒所)張貼:2009-06-28 11:30:25:地點 中國香港中環 [回應上一篇]

我重新寫一篇,看看對不對


11:牛角尖榮譽點數67點(大學理工科系)張貼:2009-06-28 12:15:39:地點 台灣台北 [回應上一篇]

面積和體積不同, 面積怎麼相加 也不會變成體積 , 這中間的連結是 厚度.

如果設定 薄片的 厚度都相同 ,

兩者相比, 分數(比率)之間 自然就會約去 厚度因素(以及圓周率),...


12:Deiruty榮譽點數13點 (托兒所)張貼:2009-06-28 20:13:29:地點 中國香港中環 [回應上一篇]

有空的話,

順便教教我怎樣從1^2+2^2+....+N^2 / N^3分解到N(N+1)(2N+1)/6N^3再分解到1/3吧!

謝謝

Ps 學校還沒有教


13:牛角尖榮譽點數67點(大學理工科系)張貼:2009-06-29 13:25:48:地點 台灣台北 [回應上一篇] ,本留言獲[]給賞金共 1 點

由 (N-1)³= N³-3N²+3N-1 知  N³-(N-1)³=3N²-3N+1

 (N)³-(N-1)³= 3(N)²- 3(N)+1 
(N-1)³-(N-2)³=3(N-1)²-3(N-1)+1 
(N-2)³-(N-3)³=3(N-2)²-3(N-2)+1 
(N-3)³-(N-4)³=3(N-3)²-3(N-3)+1 
………………
 (1)³-(0)³ =3(1)² -3(1) +1 

以上N個式子相加
→ (N)³=3[(N)²+(N-1)²+...+(1)²]-3[N+(N-1)+...+1]+N ,
[(N)²+(N-1)²+...+(1)²]=?

極限觀念屬於 高中數學 請參考相關書籍... 



[ 這篇文章被編輯過: 牛角尖 在 2009-06-29 13:28:41 ]
14:Hydrogen Dioxide(研究所)張貼:2010-06-20 01:22:42:地點 台灣嘉義 [回應第11篇]
Quote:
在 2009-06-28 12:15:39, 牛角尖 寫了:

面積和體積不同, 面積怎麼相加 也不會變成體積 , 這中間的連結是 厚度.


怎麼不會變成體積? 面積經由積分(即妳說的相加)會變成體積;反之,體積經由微分(除法)會變成面積。

我舉一個最簡單的例子:圓面積 =πr

對r微分,

d/dr(πr)=2πrr'=2πr=圓周長

當中r是一個變數。


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