| 力學 標題:單擺實驗角度一定要小於五度嗎? |
 1:黃福坤(研究所)張貼:2009-03-31 23:33:01:
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很多中學生甚至一些老師 提到單擺實驗 :利用單擺的周期 來求得當地加速度的實驗
因為 d2θ/dt2= - g*sin(θ)/L ≒- (g/L)
θ
透過 sin(θ)≒θ的近似 得到簡諧運動的關係
因此單擺週期可以近似為 T≒ 2π√(L/g) 利用此關係進行實驗測量週期 T
則可以得到當地重力加速度 g=4 π2 L/T2.
因為以上近似 角度愈小 則近似愈好. 只是不知道哪本書可能舉了個範例說
角度小於五度 可以得到不錯的近似
不過似乎不少人將其解讀為 單擺角度必須小於五度才滿則簡諧運動的關係
因此經常看到學生進行類似實驗時 發現實驗誤差不小 例如 8%.
則往往歸究原因於 實驗時擺角太大(例如說擺角約10度 其實可能真正實驗時僅7-8度)
但是擺角10度真的會造成 8%的誤差嗎?
為何單擺實驗角度需要小於5度,難道6度就不行嗎?或者5.2度也不行嗎?
既然知道 擺角愈小 愈能符合近似條件 所以擺角愈小 表示誤差會愈小
真正該問的問題是 5度時 可以保證誤差會小於多少? 或10度時會導致多少的誤差?
以下動畫讓你利用動畫模擬 來進行類似實驗找出其誤差.
動畫中假設 重力加速度 g=9.800 然後分別用兩個彈簧來模擬單擺
一個的關係式是 d2θ/dt2= - g*sin(θ)/L
另一個則是 d2θ/dt2=- (g/L)
θ
固然可看到其擺動後時間差異不小,但是若透過程式計算其擺動的周期T
然後計算出 對應的重力加速度 g=4 π2 L/T2和 9.800 相比後計算其誤差
動畫中會顯示以上資訊 也顯示依據理論假設算的週期
一開始動畫初始的角度是20度,經過十次擺動後你會發現其實誤差小於2%
之後你可以暫停動畫 改變初始角度 再度進行模擬 重覆多次後
右邊的圖會顯示出 誤差和角度之間的關係點
其實5度角 的誤差幾乎小於0.2%.
若真正進行實驗時 結果誤差大於5%, 其實誤差來源應該是來自其他的測量
而非主要來自擺角 (擺角和 摩擦力 空氣阻力等都很容易當成學生實驗時誤差來源背黑鍋者)
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其實從 sin
θ=
θ-
θ3/3! +
θ5/5! -
θ7/7! +
θ9/9! -.... 的數學關係式可發現
將以上計近似為 θ所產生的誤差來自 -
θ3/3! +
θ5/5! -
θ7/7! +
θ9/9! -....
因此第一項最大誤差估計為 -
θ3/3!=θ3/6
因此造成的百分誤差約為 (θ3/6)/θ=θ2/6
以 5度角而言 θ=5*π/180. ≒5*3/180 = 5/60=1/12
所以百分誤差約 (1/12)2/6= 1/ (144*6)= 1/ 864 < 0.2%
因為百分誤差和θ2成正比,因此 10度時誤差約 4/864= 1/216≒0.5%
也因此 20度時誤差約 2%
以上從數學分析的方式估計誤差
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(黃福坤)
