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力學 標題:斜面上的純滾動+彈簧
1:黃福坤(研究所)張貼:2009-03-09 11:41:21:
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以下動畫讓你體會 斜面上的球或圓柱體以純滾動方式運動的狀況
注意觀察其摩擦力 不含彈簧外力時 與速度無關 僅與正向力有關
若摩擦力不夠大 則會又滾動又滑動 情況會更複雜 滑動摩擦會損耗能量
但是摩擦力夠大時 純滾動是靜摩擦力 反而不損耗能量 才能保持能量守恆

公式推導的部分 留給網友嘗試 若有興趣討論 寫下你的過程 再繼續深入探討

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2:黃福坤(研究所)張貼:2009-04-11 14:30:38: [回應上一篇]

假設轉動物體(可以是圓球或圓柱)轉動慣量為I(圓球I=(2/5)mR2,圓柱I=(1/2)mR2),質量為 m,半徑為R
因為假設物體與斜面之間 以純滾動方式運動
也就是 角速度 ω=v/R, 或 角加速度 α=a/R, 其中 a為沿斜面加速度,v為沿斜面速度
轉動慣量的通式為 I=k mR2, (圓柱 k=1/2, 圓球 k=2/5)

以下以兩種不同參考點 解這個問題
1.取物體質心為參考點,則通過質心的所有力 均不會對物體產生力矩(如重力/正向力等)
該物體唯一的力矩來源為 物體與斜面之間的摩擦力 f,
則物體所受力矩 τ=Rf
因此 Rf = I α =k mR2 α= k m R * (Rα)= k m R a 所以得到摩擦力 f= k m a

物體受力沿斜面向下的合力 = mg sin θ - f = ma
因此 mg sin θ = f+ma = (k+1) ma 所以得到 a= g sin θ/(k+1)
也就是 摩擦力 f= m g sin θ  k/(k+1)

2. 假設取物體與斜面之間的接觸點為轉動參考點
此時轉動慣量 I' = I + mR2=kmR2+mR2 =(k+1)mR2
則物體惟一外力矩來源為 沿斜面方向的重力分量
所以力矩 τ' = I' α' = R* mg sin θ
所以 (k+1)mR2 α'= R mg sin θ , a'= Rα' = g sin θ/(k+1) 與以上解法得到相同加速度

至於物體碰到彈簧後 與彈簧之間交互作用力
則依照彈簧 F= - K △L  方式去計算


3:colorya2001榮譽點數8點(大學理工科系)張貼:2010-03-31 12:00:35: [回應上一篇]

看了圖中的動畫   一直不甚了解    球往斜面上作純滾動    摩擦力的方向     為什麼是向上?

感覺球被彈力作用出去   球應該是屬於被迫轉動  所以球所受的摩擦力應該是跟移動方向反向才是

到底問題出現在哪?

 ps.  黃老師這文章裡的 a=m g sin θ/(k+1)與a'= R? = mg sin θ/(k+1) 有筆誤  多了一個m


4:黃福坤(研究所)張貼:2010-03-31 13:49:21: [回應上一篇]
 純滾動時 球最下方的點 瞬間停止(靜摩擦)
從球質心的觀點:
若沒有摩擦力 則球會往右下方滑動,靜摩擦力是為了阻止球往右下方滑動的趨勢
故球所受摩擦力方向朝左上方

謝謝提供 疏漏之處的訊息,已經修改以上內文的方程式


5:力學電磁學都很糟榮譽點數35點 (高中職)張貼:2010-07-23 10:38:38: [回應第3篇]

雖然當時在向左上運動,但每一刻都在向右下加速,只是速度的方向還未反過來罷了。

球本身不想滾動(自身不具有驅動轉動的來源,又具有慣量),所以實際讓球滾動的外力來源只剩摩擦力。

不論當時是向上滾動(逆時針)還是向下滾動(順時針),能讓球順時針加速的外力(摩擦力),只能向左上。

 

反之,

當球接觸到彈簧時,每一刻都在向左上加速,

不論當時是向上還是向下滾動,能讓球逆時針加速的外力,摩擦力只能向右下。

 

如果今天在平面上運動,只要沒有接觸彈簧,不論向左向右,理想上都沒有摩擦力。

反之,接觸彈簧的過程中,不論向左向右,摩擦力向右。


6:physickingon榮譽點數5點(大學理工科系)張貼:2011-11-14 16:13:27: [回應第2篇]

此兩點均非慣性座標系

難道不用討論假想力所造成的力矩?

請老師幫忙

Quote:
在 2009-04-11 14:30:38, 黃福坤 寫了: 假設轉動物體(可以是圓球或圓柱)轉動慣量為I(圓球I=(2/5)mR2,圓柱I=(1/2)mR2),質量為 m,半徑為R
因為假設物體與斜面之間 以純滾動方式運動
也就是 角速度 ω=v/R, 或 角加速度 α=a/R, 其中 a為沿斜面加速度,v為沿斜面速度
轉動慣量的通式為 I=k mR2, (圓柱 k=1/2, 圓球 k=2/5)

以下以兩種不同參考點 解這個問題
1.取物體質心為參考點,則通過質心的所有力 均不會對物體產生力矩(如重力/正向力等)
該物體唯一的力矩來源為 物體與斜面之間的摩擦力 f,
則物體所受力矩 τ=Rf
因此 Rf = I α =k mR2 α= k m R * (Rα)= k m R a 所以得到摩擦力 f= k m a

物體受力沿斜面向下的合力 = mg sin θ - f = ma
因此 mg sin θ = f+ma = (k+1) ma 所以得到 a= g sin θ/(k+1)
也就是 摩擦力 f= m g sin θ  k/(k+1)

2. 假設取物體與斜面之間的接觸點為轉動參考點
此時轉動慣量 I' = I + mR2=kmR2+mR2 =(k+1)mR2
則物體惟一外力矩來源為 沿斜面方向的重力分量
所以力矩 τ' = I' α' = R* mg sin θ
所以 (k+1)mR2 α'= R mg sin θ , a'= Rα' = g sin θ/(k+1) 與以上解法得到相同加速度

至於物體碰到彈簧後 與彈簧之間交互作用力
則依照彈簧 F= - K △L  方式去計算



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