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力學 標題:瞬時速度和斜率
1:Becca(國中)張貼:2007-09-24 10:33:06:

在x-t圖上求A點的瞬時速度,就是求A點的切線斜率

切線斜率= △X/△T

我就在想: 這樣子切線斜率求出來不就是代表一秒鐘位置改變了多少嗎?

可是我們要求的變化量是當時間T接近於0時,位置改變了多少  不是嗎?

我想我的斜率觀念還不清楚

可以請大家幫我矯正觀念嗎?

 


2:黃福坤(研究所)張貼:2007-09-24 10:43:42: [回應上一篇]

你所謂一秒鐘位置改變了多少 指的是 t 與 t+1 之間 x(t+1)-x(t) 的改變
這在x-t 圖上對應的是兩點  t, x(t) 與 t+1, x(t+1)
也就是你談的是這兩點所形成直線的斜率(也就是截距的斜率) 類似下圖AC兩點截距的斜率
但順時速率是你所想知知道某時間點 x-t 圖上該點的切線斜率 類似下圖A點或C點的切線斜率



3:Becca (高中)張貼:2007-09-24 11:15:06: [回應上一篇]
我沒辦法看到圖

所以是說

斜率=△X/△T

端看我們怎麼解釋它

可以解釋成1秒鐘位置的變化量

也可以解釋成△T趨近於0 位置的變化量

是嗎?


4:黃福坤(研究所)張貼:2007-09-24 11:25:30: [回應上一篇]
看不到圖 你有看到右上方 常見問題的連結嗎? (你就知道如何可看到圖)
斜率=△X/△T 這是不完整的寫法
少了
△T→0



5:Becca (高中)張貼:2007-09-24 11:49:07: [回應上一篇]

喔!

所以說   斜率的定義是 :  垂直變化量/水平變化量    且  水平變化量→0


是嗎?

 


6:李偉榮譽點數3點張貼:2007-09-24 14:16:46: [回應上一篇]

x-t圖中函數曲線上通過某二點割線的斜率,即為該段時間内的平均速度
$v_{av} = \frac{\Delta x}{\Delta t}#width=58&height=46$

函數曲線上某點切線的斜率,則為該瞬時的瞬時速度
$v=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} =\frac{dx}{dt}#width=118&height=52$


7:Becca (高中)張貼:2007-09-24 14:22:24: [回應上一篇]
所以我對斜率的定義對嗎?
8:李偉榮譽點數3點(大學理工科系)張貼:2007-09-24 14:38:26: [回應第5篇]
Quote:
在 2007-09-24 11:49:07, Becca 寫了:

喔!

所以說   斜率的定義是 :  垂直變化量/水平變化量    且  水平變化量→0

是嗎?


數學上關於斜率的定義:縱坐標差除以橫坐標差 $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}#width=51&height=46$


9:Becca (高中)張貼:2007-09-24 14:42:15: [回應第7篇]

 

 我還是不懂

我舉個例子來說明我的問題

假如縱座標差=6   橫座標差=2

除起來=3   這意思是說 : 當橫座標移動1單位時  縱座標會移動3單位

那麼當我們在算某點的切線斜率時 

利用上述例子<縱座標差=6m   橫座標差=2s>

則表示: 該切線斜率=3m/s   當該直線上某一點移動1s   則位置移動了3m

但這切線斜率的意思不能代表曲線上某點的順時速度

因為3所表示的時間間隔為1s    而不是delta t 趨近於0

這是我的想法

明顯和書上寫的相異

可以告訴我錯在哪裡嗎

 

 

[ 這篇文章被編輯過: Becca 在 2007-09-24 14:44:16 ] [ 這篇文章被編輯過: Becca 在 2007-09-24 15:28:04 ]

[ 這篇文章被編輯過: Becca 在 2007-09-24 15:35:31 ]
10:林庭宇榮譽點數1點(國中)張貼:2007-10-06 22:17:36: [回應第1篇] ,本留言獲[]給賞金共 1 點

去學微積分就懂了

切線斜率是用到微分的關念

m=△X/△T

若X為T的函數

則切線斜率為 m=△X→0   △X/△T = dx/dt =X對T的微分

我簡單說明一下微分

微分: Y=F(X)   其兩點間( X , F(X) ) , ( X+△X , F(X+△X) ) 的斜率為

                       m = △Y /△X =[ F(X+△X) - F(X) ]/△X

     若△X趨近於0(即△X→0)之斜率就是其微分

                   dY/dX = △X→0  [ F(X+△X) - F(X) ]/△X

          例如: Y=X        Y(X+△X)= X+△X    Y(X)=X

                    dY/dX = △X→0  [ F(X+△X) - F(X) ]/△X= △X→0   X+△X- X/ LX 

                         =△X→0     △X/△X=X

                      持續求X的各次方之微分可歸納出

                  Y=X^n  (X的n次方)       dY/dX = nX^(n-1)

 

                            (如何上標?)

 

 

 


11:黃福坤(研究所)張貼:2007-10-06 22:44:42: [回應第9篇]
Quote:
在 2007-09-24 14:42:15, Becca 寫了:

我還是不懂

我舉個例子來說明我的問題

假如縱座標差=6 橫座標差=2

除起來=3 這意思是說 : 當橫座標移動1單位時 縱座標會移動3單位


以上推論不見得正確 除非以上區間的圖形是直線 推論才正確 否則不對 只能說以上算的是 兩點之間截距的斜率而不能代表其中任一點的斜率(可能區間內每一點斜率都不同) 若y座標是位移橫座標是時間 則任一點斜率則是瞬時速度 以上算的3是平均速度 若以上單位時間內斜率都一樣 才可以說平均速度和瞬時速度一樣
Quote:

那麼當我們在算某點的切線斜率時

利用上述例子<縱座標差=6m 橫座標差=2s>

則表示: 該切線斜率=3m/s 當該直線上某一點移動1s 則位置移動了3m

但這切線斜率的意思不能代表曲線上某點的順時速度

因為3所表示的時間間隔為1s 而不是delta t 趨近於0

這是我的想法

明顯和書上寫的相異

可以告訴我錯在哪裡嗎


你似乎一直混淆平均速度與瞬時速度  台北到台中兩小時到達知道距離可算平均速度 可是過程中任何時刻速度可能都一直改變 切線的斜率就是該點的瞬時速率 但是若有時間間隔則都屬於平均速度 物理實驗時 若時間間隔小於實驗誤差(精密度)時 測量值可視為瞬時速率
12:李偉榮譽點數3點(大學理工科系)張貼:2007-10-07 10:31:21: [回應第10篇]
Quote:
在 2007-10-06 22:17:36, 林庭宇 寫了:

                            (如何上標?)


在編輯視窗上方兩列功能鍵的第一行中間,即有上下標的按鈕:x2、x2


13:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2007-10-09 03:57:36: [回應第10篇]
Quote:
在 2007-10-06 22:17:36, 林庭宇 寫了:

去學微積分就懂了

切線斜率是用到微分的關念

m=△X/△T

若X為T的函數

則切線斜率為 m=△X→0   △X/△T = dx/dt =X對T的微分

我簡單說明一下微分

微分: Y=F(X)   其兩點間( X , F(X) ) , ( X+△X , F(X+△X) ) 的斜率為

                       m = △Y /△X =[ F(X+△X) - F(X) ]/△X

     若△X趨近於0(即△X→0)之斜率就是其微分

                   dY/dX = △X→0  [ F(X+△X) - F(X) ]/△X

          例如: Y=X        Y(X+△X)= X+△X    Y(X)=X

                    dY/dX = △X→0  [ F(X+△X) - F(X) ]/△X= △X→0   X+△X- X/ LX 

                         =△X→0     △X/△X=X

                      持續求X的各次方之微分可歸納出

                  Y=X^n  (X的n次方)       dY/dX = nX^(n-1)

 

                            (如何上標?)

 

 

 


很不錯的建議,不過要看簡單一點的微積分。
14:Becca (高中)張貼:2007-10-13 17:05:58: [回應上一篇]

謝謝你們的回覆

現在我懂了

真開心


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