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熱學/流體 標題:分子速率分布的問題
1:carolina (高中職)張貼:2007-06-17 14:34:01:
在馬克士威爾速率分布定律中,為什麼在求平均速率的時候要將速率(V)乘上他的機率P(V)再用積分把它加起來呢?我知道V乘上P(V)是指他曲線下所圍的面積,可是面積為什麼代表平均速率?
2:黃福坤(研究所)張貼:2007-06-17 17:02:17: [回應上一篇]
速度分布曲線 中 顯示每個速度有不同分布的比例
提示:
假設 有50%的人有100元, 20%的人有200元, 30%的人有300元
所有人的平均金額如何算?


3:carolina (高中職)張貼:2007-06-17 20:29:34: [回應上一篇]

下圖顯示了有一個含有N個氣體分子樣本的假想速率分布(請注意,對於V>2Vo而言,其P(V)=0。)試求Vrms/Vo的值為何

我的作法如下:

首先求出$av_{0}#width=23&height=29$因為P(V)代表著機率,所以他曲線下的面積總和為1。利用此一性質可以得到$\frac{1}{2}av_{0}+av_{0}=1#width=84&height=38$所以$av_{0}#width=23&height=29$=2/3。因為圖形是由兩條線所構成,其方程式分別為$y=\frac{av}{v_{0}}#width=36&height=44$和y=a。分別以$v^{2}\cdot \int _{0}^{v_{0}}\frac{av}{v_{0}}dv#width=70&height=64$和$v^{2}\cdot \int _{v_{0}}^{2v_{0}}adv#width=64&height=70$算出他們速度平方的平均值。可是我的問題是要如何求其真正的平均值?我的解答上是直接將上兩式算出的值相加得速率平方的平均值然後再開根號的方均根速率。可是總平均可以這樣子求嗎?譬如說有50元的1個人、20元的4個人、100元的2個人、30元的3個人然後求他們總平均(=42)。可是這個結果不等於前兩個(50元和20元)的平均加上後兩個平均。請問那為什麼上面可以這樣算呢? 謝謝


4:黃福坤(研究所)張貼:2007-06-17 21:08:08: [回應上一篇]
譬如說有50元的1個人、100元的2個人、30元的3個人20元的4個人

若先算前3個人的平均 (50*1+100*2)/3=A 與後7個人的平均 (30*3+20*4)/7=B
之後若是要算總平均 應該是 (3*A+7*B)/10  而不是 (A+B)/2
因此不論如何分組 結果都一樣

因此圖形中的計算要分別找出比重!



5:carolina (高中職)張貼:2007-06-17 23:19:53: [回應上一篇]
所以照老師這樣說的話,就是把上面第一個積分後的結果乘上1/3+第二項乘上2/3 然後再開根號嗎?
6:黃福坤(研究所)張貼:2007-06-17 23:38:35: [回應上一篇]

若你是想求平均速率沒問題 (水平軸是速率)
可是現在你要求的是 方均根速率 目前水平軸是速率 而不是速率的平方
想一想 該如何變化曲線或進行轉換呢?


7:carolina (高中職)張貼:2007-06-18 09:18:27: [回應上一篇]

先將上面兩條直線方程式抄下來:$\frac{av}{v_{0}}#width=18&height=44$

y=$y=av^{0}#width=41&height=28$。先用$v_{0}^{2}#width=16&height=37$、Vo/2的平方 Vo/3的平方.... 代入第一式描繪出圖形(看起來像拋物線)。然後再以同樣的方法將數字代入第二式並描出圖,因為第二式的V都是零次方所以任何東西帶入都是1,所以是y=a的一條直線

圖形大致如下。然後再用積分求出曲線:$\frac{av}{v_{0}}#width=18&height=44$從0到Vo平方的面積+長方形的面然後利用這個找出比重嗎?


8:carolina (高中職)張貼:2007-06-18 20:18:46: [回應上一篇]
我突然發現中間個不連續點好像怪怪的,他代表著同一速率平方有兩個機率,所以是我弄錯了?
9:Hydrogen Dioxide(大學理工科系)張貼:2007-06-18 21:56:20: [回應第1篇]

Quote:
在 2007-06-17 14:34:01, carolina 寫了: 在馬克士威爾速率分布定律中,為什麼在求平均速率的時候要將速率(V)乘上他的機率P(V)再用積分把它加起來呢?我知道V乘上P(V)是指他曲線下所圍的面積,可是面積為什麼代表平均速率?

這問題與伽馬函數的性質有關

平均速率為I3/I2 (比值)

而I3與I2 分別為

I3V3 exp{-mv2/(2kT)} dV..........伽瑪函數I3

I2V2 exp{-mv2/(2kT)} dV..........伽瑪函數I2

另外你說的p(v)這個, 正確的說法應該是高斯分布函數exp{-mv2/(2kT)} 至於說是機率 我覺得要看你這機率的定義為何

  對於一大群的分子而言 使用「分布」的說法比較洽當

我記得以前在修這地方的時候, 老師說平均速率v是高斯函數中 積分面積中比較靠近中間的地方 此區域的面積為I3/I2

當然修近物這地方(熱輻射起源)的時間距離現在已經過很久了 以上如有錯請高手指正

 


10:carolina (高中職)張貼:2007-06-18 22:26:25: [回應上一篇]

謝謝你提供給我的資訊

可是這裡有個問題是要如何將P(V)對V轉換成P(V)對V的平方的圖,我上述這種轉換方是不知對不對(中間那個不連續點怪怪的,還是有其他物理意義?)


11:Hydrogen Dioxide(大學理工科系)張貼:2007-06-18 22:50:20: [回應上一篇]
你的問題可先交給別人處理? 因我剛好要下線了 抱歉
12:黃福坤(研究所)張貼:2007-06-18 23:22:05: [回應第3篇]

Quote:

在 2007-06-17 20:29:34, carolina 寫了:

下圖顯示了有一個含有N個氣體分子樣本的假想速率分布(請注意,對於V>2Vo而言,其P(V)=0。)試求Vrms/Vo的值為何




抱歉 因為我沒有講清楚 讓你誤會了意思
原本 速度V從 0-VO的機率 是 線性增加.
P(V)=a*V/Vo (0<V<Vo)
P(V)=a  (Vo<V<2*Vo)

我的意思是 你需要算的平均是 ∫ P(V) V2 dV (積分上下限分別是2*Vo 與 0)




13:TERRY111榮譽點數13點(研究所)張貼:2012-08-20 21:57:10: [回應上一篇]


大家好

想請問一下,馬克示威 速率分布圖
的y軸單位為何?
y軸和x軸的積分面積=1(或分子個數)
讓我覺得 y軸是 某速度的機率/速率

謝~


14:Hydrogen Dioxide(研究所)張貼:2012-09-06 14:49:16: [回應上一篇]



Y-軸 單位 : 機率密度 (probability density)

http://zh.wikipedia.org/wiki/File:MaxwellBoltzmann-en.svg

File:MaxwellBoltzmann-en.svg


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