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力學 標題:梯度 散度 旋度的物理意義
1:黃福坤 (研究所)張貼:2006-10-23 21:32:24:地點 台灣台北

梯度 Gradient 散度 divergence 旋度curl 的物理意義

時間與空間是物理最基本的物理量:
我們也常想瞭解 物理量隨時間變化因此定義如 速度=位移隨時間變化率, 加速度=速度隨時間變化率,必v=能量隨時間變化率等, 因為時間是純量 所以處理起來還算比較簡易,

我們也經常想瞭解物理量隨空間的變化, 但是空間有方向性因此其變化比較多些,
於是有所謂 梯度/散度與旋度等數學運算.
力做孕i以將能量儲存成位能 dU=-Fx*dx-Fy*dy-Fz*dz (或者以向量內積 F.dr 表示)
因此反過來可知 Fx=-dU/dx, Fy=-dU/dy, Fz=-dU/dz
因此定義 =Fx i + Fy j +Fz k = -▽U
其中▽U= du/dx i +dU/dy j + du/dz k 稱為位能U的梯度
(有沒有聯想到梯田的高度差!)
以重力場為例 水平方向能量都一樣 因此重力水平方向沒有差值 因此水平方向沒有作用力
但是垂直方向升高某高度 位能會增加 因此作用力向下(因為力是負的梯度)
位能隨高度增加 梯度是正的 因此作用力就朝下(負號的意義)
若是很短的距離內位能改變很大表示作用力很大(是否想到較陡的山)
若是相同距離內位能變化較小則表示作用力也比較小(較平緩的山坡)
因此從能量隨空間的分布 我們可以得知作用力的分布 這就是梯度的用途!

接下來談一談 電場的散度與磁場的旋度:
電場其實就是單位電荷所受的力(電位就是單位電荷的電能)
電場源自於電荷 磁場源自於電流
電場和磁場最大的不同在於
電力方向在兩電荷的連心線上 或者說電場是徑向力
而在電流的方向上沒有磁場 磁場存在於與電流方向垂直的平面方向

其實電與磁可說是一體的兩面(這留待以後再詳述)
反正你我都沒有人親眼看過電場或磁場 我們都只能觀察到力的效應
電於電磁作用力 在連心線方向的便是電場 與連心線方向垂直的便是磁場
散度主要是用於類似電場這類連心線方向的場(開放電力線)
而旋度則適用於類似磁場這類(封閉磁力線)的場.例如漩渦的水流中任一點其水流方向與中心點連線並非一致
例如電場的散度和產生徑向場的源(電荷量)成正比▽.= ρ/ε
出現ε 只是因為單位選擇的因素
而磁場的旋度則和產生場的漩渦場的源(電流密度)成正比▽×J


2:黃福坤 (研究所)張貼:2006-10-23 22:25:30:地點 台灣台北 [回應上一篇]

談到電場的散度▽.E=ρ/ε (▽.E=dEx/dx +dEy/dy+dEz/dz 其中Ex,Ey,Ez為電場的各分量)
忍不住就和電位V的梯度連在一起談 已知E=-▽V
將以上兩者合併 則得到 ▽2V=-ρ/ε
於是得到 d2V/dx2+d2V/dy2+d2V/dz2=-ρ/ε
在電荷不存在的區域 上式的右邊為零 於是變成 Laplace's equation (有源則稱poission's equation)
(當然以上所寫類似d/dx 等正確寫法是偏微分但是不好輸入因此以全微分寫法代之)
從數值分析的角度可知 任何滿足Laplace的區域 其電位數值恰好是四周電位的平均值
哇 這樣談下去會愈談愈多 還是先停一下 要是網友有興趣再深入討論吧!

3:蔡承宸榮譽點數39點 (物理學系)張貼:2006-10-27 01:09:17:地點 台灣台北 [回應第1篇]

Quote:
在 2006-10-23 21:32:24, 黃福坤 寫了:

磁場的旋度則和產生場的漩渦場的源(電流密度)成正比▽×J


我想請問兩個問題:

(一).上面式子的物理意義是不是「若空間中有磁場分布,則必有若干個面電流密度不為零的點存在」以及「空間中的某一位置點P有面電流密度存在,則使得該點產生一有旋的磁場。」?

(二).若空間中有任意相異兩點具有相同的面電流密度,那麼該兩點的磁場強度是否相等?


4:黃福坤 (研究所)張貼:2006-10-27 09:03:48:地點 台灣台北 [回應上一篇]

首先要確認所討論的系統環境 例如某區域內只有均勻磁場 則▽×B=0

即使某區域內有▽×不為零,不見得表示該區域內有電流

但是若某面積上環場積 ∮B dι 不為零 則該面積內可能有電流 或者電通量變化

(因為還沒談到另一項 ▽×J+με dE/dt) 

面電流密度J決定的是該點附近空間的行為而不是該點
▽× 是鄰近點隨空間的變化 並非該點!所以問題二只能說不一定!

 


5:Hydrogen Dioxide (研究所)張貼:2006-11-02 15:00:29:地點 台灣台北 [回應上一篇]

有關μo  εo   μ   ε不能混在一起用吧

如果是物質中的電廠 以ε(=εoεr)

物質中的磁場==> 以μ=μoμr

真空的話 就直接用μo εo   


6:黃福坤 (研究所)張貼:2006-11-02 16:23:33:地點 台灣台北 [回應上一篇]
因為我之前的討論並沒有限制於真空 因此用μ,ε
若是真空中 算是其中一個特例 則變成μo, εo
並沒有混用!


7:Hydrogen Dioxide (研究所)張貼:2006-11-02 23:47:57:地點 台灣台北 [回應上一篇]

喔 原來是這樣子啊^^

 


8:Hydrogen Dioxide (研究所)張貼:2006-11-03 12:43:14:地點 台灣台北 [回應上一篇]

談一下我對這些向量運算的看法^^

我以前在念電磁學靜電學和磁學前半部 這些章節的時候

其實我沒有在乎太多「數學」的東西

因為電磁畢竟是物理不是數學

所以也就是這樣 我在理解梯度散度旋度的時候

就是如下這樣想像 (梯度是將過去我們日常生活中說的「變化」給予科學化的概念)

譬如走上樓梯往上爬 總會感覺地心引力反抗我們

「地心引力反抗我們往上(y方向), 但我們畢竟有往上發生位移的變化(dy) 也確實相對於地面儲存了位能(dU)啊」

因此而有「每增加了一份的dy, 就有相應的dU增加了」所以:自己在爬升過程中 出力 dU/dy *j      j表示方向向上

而自己的出力 相當於反抗地球對自己的吸引力 因此-F=dU/dy *j 或 F=-dU/dy *j

同理, 在電磁學中, E=-dV/dx *i (一維x軸向)   ; 或E=-▽V(三維x,y,z都有)

 

電場的「來源」為電荷 ▽.E=ρ/ε

磁場的來源非磁荷         ▽.B=0

因此很容易想到 磁場應該不是由點源散發出來的 , 而是▽ x B=μJ

J為體電荷密度

由旋度的表示法(如下的行列式) 可知是該運算(▽ x )隨空間的變化 而非該點(x,y,z)的變化

|    i      j     k |

|   B    B     B | = μJ

|  d/dx  d/dy  d/dz |

因行列式必須降階展開 磁場各方向的分量(Bx, By, Bz)必定對空間做微分 即旋度的運算係物理量「隨空間作變化」,並非「(x, y, z)對空間做微分」 兩者的物理意義有差!

以下提供各運算的英文:梯度-gradient ; 散度-divergence ; 旋度─curl

 

PS: the magnetic field's special properties

磁場具有封閉的力線且無磁單極(▽.B=0),

▽.(▽x)為零的特性,故可定義不可測的向量磁位A

    ▽.(▽xA)=0  ; B=▽xA

磁場遵守勞倫茲規範

    ▽.A+εμdV/dt=0



[ 這篇文章被編輯過: Hydrogen Dioxide 在 2006-11-04 11:00:24 ]
9:張雅媚(大學理工科系)張貼:2007-05-26 15:51:42:地點 台灣 [回應上一篇]

很有條理的記法 ^ ^

 


10:黃福坤(研究所)張貼:2007-06-05 00:30:20:地點 台灣台北 [回應上一篇]
梯度是用來作用空間中純量場的一個數學運算.
可以用來瞭解 純量場隨空間的變化
正如所舉 以在地圖上標示出某區域各點高度 則梯度代表該點最陡的向量!
範例:
若是純量場對應重力位能 U, 則U的梯度 ▽U與該點重力向量F的關係是 F=-▽U.

而散度與旋度 則是用來作用於 向量場的數學運算
在處理問題時我們經常希望找出兩種互相獨立的座標去描述問題
如平面的點可以用 x,y兩互相垂直(垂直就是互相獨立不相干)去描述平面上任何一種點
而散度與旋度是用來描述所有向量場的兩獨立『座標』!
任何向量場都可以用散度場與旋度場的線性組合表示.
恰好電磁場中 電場僅有散度(而無旋度),而磁場僅有旋度(而無散度)
電場可用電力線描述 磁場可用磁力線描述 穩定的水流也可以用流線來表示
漩渦形狀的磁力線會有旋度(磁力線封閉,漩渦的水流線不見得封閉但是都有旋度)
磁場的旋度 ▽×B=μ I + με ∂E/∂t 也就是旋度的值和產生旋度場的源(電流或電場變化成正比)

電場散度 ▽•E= ρE/ε 也就是散度的值和產生散度場的源(電荷)成正比
對於水流 若該處是水源 散度值為正,若是下水道 水會流失之處 散度值為負 其餘則散度值為零.



11:天泣榮譽點數39點(大學理工科系)張貼:2008-01-25 01:00:05:地點 台灣台北 [回應第2篇]

Quote:

在 2006-10-23 22:25:30, 黃福坤 寫了:

談到電場的散度▽.E=ρ/ε (▽.E=dEx/dx +dEy/dy+dEz/dz 其中Ex,Ey,Ez為電場的各分量)
忍不住就和電位V的梯度連在一起談 已知E=-▽V
將以上兩者合併 則得到 ▽2V=-ρ/ε
於是得到 d2V/dx2+d2V/dy2+d2V/dz2=-ρ/ε
在電荷不存在的區域 上式的右邊為零 於是變成 Laplace's equation (有源則稱poission's equation)
(當然以上所寫類似d/dx 等正確寫法是偏微分但是不好輸入因此以全微分寫法代之)
從數值分析的角度可知 任何滿足Laplace的區域 其電位數值恰好是四周電位的平均值
哇 這樣談下去會愈談愈多 還是先停一下 要是網友有興趣再深入討論吧!




請問從數值分析的角度是?

任何滿足Laplace的區域 其電位數值恰好是四周電位的平均值

這可以先考慮一個點電荷的情形
證明 在滿足Laplace的區域任意一點的電位是周圍電位的平均
然後對於多電荷系統的情況 只要用疊加原理就可以納入了

有了這個定理
於是可以數值分析...?

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