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討論區首頁 >>物理課程相關問題(分成國中/高中/大學等區) >>常見問題整理>>單擺實驗的擺角一定要小於5度才可以嗎?
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力學 標題:單擺實驗的擺角一定要小於5度才可以嗎?
1:黃福坤(研究所)張貼:2006-09-27 10:34:05:

單擺是物理入門最常見的範例

假設擺長L 重力加速度g 襬角θ推導後可得到

        d2θ/dt2=- (g/L) sinθ

當θ<<1 時上式可以近似為 d2θ/dt2=-(g/L)θ 也就是簡諧運動的公式

因此得到週期T=2π√(L/g) 的近似

本篇所要討論的是所謂 θ<<1 或者將 sinθ近似為 θ 所產生的誤差為何?

這樣才知道需要多小的襬角才算符合θ<<1的要求!

依據泰勒展開式 sinθ=θ-θ3/3!+θ5/5!-θ7/7!+θ9/9!-θ11/11!+... (-1)nθn/n!+...直到n->∞

(以上推導屬於大學部分課程)

其中n!=n*(n-1)*(n-2)*...*1 也就是5!=5*4*3*2*1

當θ<1時 θn<1 且n愈大其數值愈小

因此θ<1時 由sinθ用多項式展開可知愈後面的項數值愈小  (若θ<1則 θ7/7!<θ5/5!<θ3/3!)

因此將sinθ 以θ做近似時 所產生的誤差約是 θ3/3!

也就是約會產生 (θ3/3!)/θ=θ2/6 的百分誤差

可以估計所造成結果的百分誤差約θ2/6

以角度5度為例 θ=5*π/180=π/36≒1/12

因此sinθ 以θ做近似時 所產生的誤差約是 1/(12*12*6)=1/(144*6)=1/864 ≒0.116%

以上擺角5度指的是向任何一邊的最大擺角5度也就是整體最大擺角是10度時 因近似所產生的誤差約 0.116% 或千分之1.16 這是非常小的誤差

因此我們說擺角5度通常滿足小角度近似 因此用簡諧運動的公式很合理

但是即使一邊擺角是10度(總襬角20度的狀況下)所造成的百分誤差 會比一般擺角是5度時 多4倍 (因為百分誤差和θ2成正比)

也就是僅有0.116*4=0.464% 的誤差

通常同學做單擺實驗大概很不容易做到實驗的精密度小於1%(很可能還有3-5%的誤差)

因此千萬不要說因為擺角過大所以造成誤差 (一定是實驗其他的誤差產生的 總擺角20度或一邊10度所造成的近似誤差小於0.5%)

若是實驗的精密度大於1% 其實擺角20-30度都無妨

正如實驗精密度不高時 用一般尺量長度就可以 精密度要求高時 採用游標尺等才有意義!

當有人問你 單擺擺角該小於多少才符合小角度近似

你應該先問 你要求的精密度是多少 才有答案

若精密度要求小於千分之1.16則真的需要5度以內

若精密度1%也可以則擺角10度絕對沒影響

知其然 也要知其所以然

寫本篇的用意是讓網友瞭解單擺擺角5度 並不是magic number或必然需要的條件 其實是事情沒有完全講清楚(只是當初某人舉的例子)

只是當下一般參考書甚至部分教科書還寫下一定要小於5 度

卻沒有說明或甚至不清楚為何要求5度, 條件為何?

這樣會讓學生誤以為物理都是一堆規定

當你知道其中道理時你就能體會其實物理是很合理的推理!


2:Hydrogen Dioxide(大學理工科系)張貼:2007-06-12 18:45:18: [回應上一篇]
我覺得外國人他們可能會研究: 為何人類會『覺得』小角度才像單擺? 最近有英國科學家統計研究發現其實有錢的人比較容易「買到」快樂.. (請詳見相關的網頁)
3:天泣榮譽點數39點(大學理工科系)張貼:2008-01-20 16:36:47: [回應第1篇]

Quote:

在 2006-09-27 10:34:05, 黃福坤 寫了:

當有人問你 單擺襬角該小於多少才符合小角度近似


你應該先問 你要求的精密度是多少 才有答案


若精密度要求小於千分之1.16則真的需要5度以內


若精密度1%也可以則襬角10度絕對沒影響




我覺得這一段似乎有一個問題存在
原先文章是討論 sinθ 與θ在小角度下的誤差

但如果是談精密度的話
應該是指實驗測出來的周期與T=2π√(L/g)有多吻合
也就是在某個角度之下 單擺實際的周期與T=2π√(L/g)有多接近
因而可以定出一個範圍 譬如在多小的角度下 T=2π√(L/g)的準確度有多高

所以應是求出單擺的周期 (不用去做小角度近似 直接解)
也就是解出 d2θ/dt2=- (g/L) sinθ
在解出單擺在任何角度下的周期T後 (這部分會牽涉到橢圓積分)
就可以與T=2π√(L/g)比較看看

其實T展開之後 第一項正是T=2π√(L/g)
當角度愈小的時候 這一項的重要性就愈大

因此要估計精密度
應該是從這個T展開式去看


 


4:黃福坤(研究所)張貼:2008-01-20 18:31:59: [回應上一篇]
將 T 展開 確實沒錯

只是將 T 整個除以第一項 就可以變成一個沒有單位的比值
而第二項或之後的項 與 第一項的比值 就是 誤差的百分比
這樣比就 方便多了! 且可不同狀況之間相比
這也是以上敘述的重點之一,  好好想一想 體會其精意!



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