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其他 標題:試證明向量外積的右手定則
1:隨便你叫榮譽點數1點 (大學理工科系)張貼:2005-11-10 23:26:46:地點 台灣台北

向量座標化以後,外積是有公式的(不會的人去看高中數學課本).由公式可以推導出 皆垂直,而且的長度等於.(我累了,不想寫證明了......)

但是這樣子並不足以看出右手定則:右手四指由的方向轉為的方向時,大拇指所指的方向規定為 的方向。

因為,從公式中我只看得出來兩向量都垂直,而皆垂直的向量之方向並非唯有如右手定則所述,其反方向也是皆垂直呀!我實在是看不出來右手定則必成立呀!!!!!!有人可以證明給我看嗎?(我沒有離題喔,物理有用到外積)

我想到快爆炸了......若能讓本人的頭免於一爆者吾感謝之至.



[ 這篇文章被編輯過: 隨便你叫 在 2005-11-10 23:35:07 ]
2:施延德 (大學理工科系)張貼:2005-11-11 01:41:53:來自 國立成功大學 [回應上一篇]
ㄏㄏㄏ仁兄想太多囉,就把他當作一種規定就好啦!想那麼多幹麻~~我也可以定義逆時針旋轉的角速度方向不是向上而是向下阿!有何不可?
3:紀延平榮譽點數17點 (研究所)張貼:2005-11-11 09:55:26:地點 台灣台北 [回應上一篇]
在數學外積的定義上,右手手性的規定只是一種習慣的選擇,並非一定要如此不可。
4:隨便你叫榮譽點數1點 (大學理工科系)張貼:2005-11-11 21:32:20:地點 台灣台北 [回應上一篇]

那你可以舉個反例給我看嗎?你能找到依照外積公式計算,但結果卻不合右手定則的例子?目前我還沒看過反例.這並不是人為定義的結果,而是計算上的事實.不可能大家一起約定說:從此以後我們要用左手定則,結果同一個公式算出來的向量就變成反方向了呀.

(3,-7,5)x(4,1,-8)=(-7*(-8)-1*5,5*4-3*(-8),3*1-4*(-7))=(51,44,31)   符合右手定則

看,我隨便亂舉一個都符合啊.你們也可以試試看.總不能說都是巧合吧.



[ 這篇文章被編輯過: 隨便你叫 在 2005-11-11 22:24:00 ]
5:Hydrogen Dioxide (研究所)張貼:2005-11-12 12:23:59:地點 台灣台北 [回應上一篇]
這摸自信 可看《向量分析》 書本in大學圖書館。
6:隨便你叫榮譽點數1點 (大學理工科系)張貼:2005-11-12 21:40:02:地點 台灣台北 [回應上一篇]

要嘛舉個違反右手定則的例子,要嘛就證明右手定則嘛......當別人告訴你一個乍看之下未必為真的定理時,會這樣想很正常吧.雖然說直接接受它然後把它背起來是很方便,可是會有種不爽在心頭.

《向量分析》? in大學圖書館?高三生看得懂嗎?如果超出高中程度的話你給我這本書對我沒有用吧.

謝謝你們的回覆啦.不過到底有沒有人願意證明給我看它不成立(舉個依數學上外積公式(a,b,c)x(d,e,f)=(bf-ce,cd-af,ae-bd)算出來而不合右手定則之例,這樣就說明了電磁學上F=iLxB外積的方向真的只是物理學家另外定義的,跟數學上外積的方向不是絕對一樣)或成立(我想証但是証失敗了)呢?

我有想到一個方法是把各種類型的情況討論完啦:(以下正負號表示該項的正負號,不寫出實際數字,因為都會對)第一掛限向量(+,+,+)外積另一掛限向量(-,+,+)後得到(?,-,+)(問號表示正負不一定,因為兩正數相減無法確定其正負)

只要知道其正負號,就可以用手比比看想想看,觀察之後赫然發現這兩個掛限各一個向量外積後必符合右手定則.然後再抓另兩個掛限來試試看......再抓X軸上向量和各掛限的向量來試看看......這樣可以討論完相當多種情況.可是還是有的情況無法用此法討論 : (+,+,+)x(+,+,+)=(?,?,?)

唔......



[ 這篇文章被編輯過: 隨便你叫 在 2005-11-12 21:41:17 ]
7:brasilr9榮譽點數2點 (高中職)張貼:2005-11-12 22:15:53:地點 台灣台北 [回應上一篇]
外積的方向似乎是一種定義 就好像內積的定義是導源於物理做功的概念(印象中課本是這樣寫 有錯麻煩先進指正)

所以要如何證明....似乎是一個無解的問題

玩遊戲的時候  總不能去證明遊戲規則吧?

當然 為什麼要這樣定義一定有它的理由  不然就無法通過歲月的考驗 smiley


8:PanChi-ray榮譽點數3點 (大學理工科系)張貼:2005-11-12 23:15:14:地點 台灣台北 [回應第4篇]

那我也開始懷疑了

為什麼你說外積是照你那樣的方式算

為什麼要定義行列式

 


9:Hydrogen Dioxide (研究所)張貼:2005-11-12 23:59:01:地點 台灣台北 [回應第6篇]
Quote:
在 2005-11-12 21:40:02, 隨便你叫 寫了:

《向量分析》? in大學圖書館?高三生看得懂嗎?如果超出高中程度的話你給我這本書對我沒有用吧.


大多數《向量分析》前幾章節單元 都是複習高中ㄉ東西

 

a x b = a, b 所張平面ㄉ法向量


10:隨便你叫榮譽點數1點 (大學理工科系)張貼:2005-11-13 10:55:36:地點 台灣台北 [回應第8篇]
Quote:
在 2005-11-12 23:15:14, PanChi-ray 寫了:

那我也開始懷疑了

為什麼你說外積是照你那樣的方式算

為什麼要定義行列式

 


我不會打向量符號,所以以下大寫字母表示向量.我不會打外積符號,所以用大寫的X來替代.

向量A=(a,b,c),向量B=(d,e,f)

欲求A,B的公垂向量(Hydrogen Dioxide 所說的A,B所張平面之法向量),設其為L(x,y,z),則由內積可知:

A內積L=0=ax+by+cz   (歹勢,不會打內積號......只好直接寫中文)

B內積L=0=dx+ey+fz

聯立方程式: ax+by=-cz,dx+ey=-fz

克拉瑪公式:

x=(-cz*e-(-fz*b))/(ae-db)=z(bf-ce)/(ae-bd)

y=(-fz*a-(-cz*d))/(ae-bd)=z(cd-af)/(ae-bd)

x : y : z = (z(bf-ce)/(ae-bd)) : z(cd-af)/(ae-bd) : z = (bf-ce) : (cd-af) : (ae-bd)

A=(a,b,c),B=(d,e,f)的公垂向量L必平行於C=(bf-ce , cd-af , ae-bd)

用這個公式尋找公垂向量很方便,所以不妨定義(a,b,c)x(d,e,f)=(bf-ce , cd-af , ae-bd)

而且此公式的巧妙之處不只在其方向,其長度也有特殊意義:

C^2 =(bf-ce)^2+(cd-af)^2+(ae-bd)^2

=(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)-(a^2)(d^2)-(b^2)(e^2)-(c^2)(f^2)-2(bfce+cdaf+aebd)

=(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)-(ad+be+cf)^2

=(A^2)(B^2)-(A內積B)^2

=(A^2)(B^2)-( A∣∣Bcosθ)^2  (A,B夾θ角)

=(A^2)( B^2)(1-cos^2θ)

= (A^2)( B^2)sin^2θ

所以∣C=A∣∣Bsinθ (sin值為正的AB夾角為θ)

 

我所知的外積就是這樣來的,而我推導出的性質只能看出CAB公垂向量,且∣C=A∣∣Bsinθ,但完全看不出它必然合乎右手定則.因為右手定則的反方向跟以上性質也沒有違背.數學課時也沒有去討論C到底是在哪一邊,因為我們關注的只是C會是AB的公垂向量.但偏偏物理課時右手定則出現了,老師還說:這你們數學課時應該有教過……

我好奇物理的外積是不是跟數學的外積一樣、右手定則到底是物理學另外訂的還是數學的外積公式使用時也會必然成立,所以我就隨便亂設幾個向量來外積看看,結果發現好像都對!?那我現在要做的就是要證明它(證明數學的外積公式有右手定則)或是推翻它(找出一個反例就行了).

雙氧水君,你說的書裡面有講到右手定則嗎?有的話我就去借看看吧.



[ 這篇文章被編輯過: 隨便你叫 在 2005-11-13 10:59:11 ]
11:Hydrogen Dioxide (研究所)張貼:2005-11-13 11:09:54:地點 台灣台北 [回應上一篇]

雙氧水君,你說的書裡面有講到右手定則嗎?『有的話我就去借看看吧.』

現在年輕人都降子ㄛ?

態度很差不想回你^^~~

 

還有Hydrogen Dioxide=HO2 (not-exist)

Hydrogen Peroxide=雙氧水



[ 這篇文章被編輯過: Hydrogen Dioxide 在 2005-11-13 12:46:29 ]
12:隨便你叫榮譽點數1點 (大學理工科系)張貼:2005-11-13 13:20:33:地點 台灣台北 [回應上一篇]

啊......我的意思是說我不曉得借不借得到啦,所以說"借看看",真的沒有什麼不禮貌的意思......如果讓你不高興的話我跟你道歉.

喔,關於Hydrogen Dioxide的意思,我把它當作雙氧水是因為我在google有查到這些:

http://www.nfc.nctu.edu.tw/safety/MSDS/H2O2_cht.doc

http://www.nics.org.tw/magazine/12/06/12-6-5.htm

http://flora2.epa.gov.tw/prog/database/7609.htm

那上面列出的雙氧水同義名稱有包括HYDROGEN DIOXIDE,我就相信它是指雙氧水了.



[ 這篇文章被編輯過: 隨便你叫 在 2005-11-13 13:32:07 ]
13:Hydrogen Dioxide (研究所)張貼:2005-11-13 14:13:48:地點 台灣台北 [回應上一篇]
Quote:
在 2005-11-13 13:20:33, 隨便你叫 寫了:

啊......我的意思是說我不曉得借不借得到啦,所以說"借看看",真的沒有什麼不禮貌的意思......如果讓你不高興的話我跟你道歉.

Quote:
接受....

喔,關於Hydrogen Dioxide的意思,我把它當作雙氧水是因為我在google有查到這些:

http://www.nfc.nctu.edu.tw/safety/MSDS/H2O2_cht.doc

http://www.nics.org.tw/magazine/12/06/12-6-5.htm

http://flora2.epa.gov.tw/prog/database/7609.htm

那上面列出的雙氧水同義名稱有包括HYDROGEN DIOXIDE,我就相信它是指雙氧水了.

[ 這篇文章被編輯過: 隨便你叫 在 2005-11-13 13:32:07 ]

Quote:
報好意思我搞錯ㄌ


14:Hydrogen Dioxide (研究所)張貼:2005-11-13 14:14:55:地點 台灣台北 [回應上一篇]
一定可以借到
15:ZXAS榮譽點數7點 (大學理工科)張貼:2006-04-13 00:11:42:地點 台灣台北 [回應第1篇] ,本留言獲[]給賞金共 1 點
Quote:
在 2005-11-10 23:26:46, 隨便你叫 寫了:

向量座標化以後,外積是有公式的(不會的人去看高中數學課本).由公式可以推導出 皆垂直,而且的長度等於.(我累了,不想寫證明了......)

但是這樣子並不足以看出右手定則:右手四指由的方向轉為的方向時,大拇指所指的方向規定為 的方向。

因為,從公式中我只看得出來兩向量都垂直,而皆垂直的向量之方向並非唯有如右手定則所述,其反方向也是皆垂直呀!我實在是看不出來右手定則必成立呀!!!!!!有人可以證明給我看嗎?(我沒有離題喔,物理有用到外積)

我想到快爆炸了......若能讓本人的頭免於一爆者吾感謝之至.

[ 這篇文章被編輯過: 隨便你叫 在 2005-11-10 23:35:07 ]

數學上的外積方向確實是定義而來 首先我們先定義 C是A B的公垂向量 且他的大小為ABsinθ 再定一其方向遵守右手定則於是我們可了解這時候"座標系"x y z軸的方向也不可以亂定 否則由座標系所計算出來的外積方向會不符合右手定則 故又規定 空間座標系 若有x.y.z3軸 且各軸之紀錄座標的對應順序為(x.y.z) 則 x軸→ y軸經由右手定則要等於z軸的方向;y軸→z軸 經由右手定則要等於x軸的方向;z軸→ x軸經由右手定則要等於y軸的方向以此類推....  例2:若有x.y.z3軸 且各軸之紀錄座標的對應順序為(z.x.y)則 z軸→ x軸經由右手定則要等於y軸的方向;x軸→y軸 經由右手定則要等於z軸的方向;y軸→ z軸經由右手定則要等於x軸的方向 
學校老師好像也很少提到 但我記得聯考很久以前考過 [ 這篇文章被編輯過: ZXAS 在 2006-04-13 00:16:44 ]

[ 這篇文章被編輯過: ZXAS 在 2006-04-13 00:19:57 ]
16:黃柏瑋(高中/職)張貼:2009-09-05 10:29:29:地點 台灣台北 [回應第1篇]

這是正解。

這問題我也想很久。

我從另一個角度出發。先說,這是滿足右手定則,再尋找一般示。

你只需用幾何證明它滿足結合律即可。

再把兩向量都用xyz表示,不斷用結合率,而且你已知xy yz zx 的外積,就可把表示示導出來。

數學物理一定要有一致性,我們只是用數學在描述,絕不是新創造,要不然很多數學定理都沒法用。


17:黃福坤(研究所)張貼:2009-09-05 11:37:32:地點 台灣台北 [回應上一篇]
建議 可嘗試 對於轉動或與外積有關的 問題
將與外積有關的定義 其方向的決定  右手都改成左手
 看看 是否都符合 還是某些需要加負號!




18:cxxlman(高中/職)張貼:2010-03-29 14:11:35:地點 台灣彰化 [回應第1篇]

右手或左手定則只是一種方便的說法(方便記憶),其意是指 OA 和 OB 兩向量不平行(為方便說明,不是不能平行),且相
交於 O 點,由任一邊為始邊至另一邊為終邊,形成一個夾角,以 OA 或 OB 為斜邊(另一邊就是鄰邊),得到其對邊(即乘
以其夾角的 sin 值),再與鄰邊相乘,至此可得到外積的數值部份,不過可看出不管以哪邊為始邊,結果都一樣。

而外積是為了表達力矩現象,即由上述的的關係,數值相同始邊不同的力矩應該是互相抵銷的,即其數值應互為正負才
行,於是就"人為定義"決定何者為正何者為負,但這實在很難表達(或者說畫出),於是就用右手(左手也行)姆指外的四指指
出始邊至終邊的方向,姆指的方向決定力矩的正負(可能是出於電感效應三個向量的靈感),這是一個聰明的方法但絕不是
自然規則(實在不應視為力矩方向),既然這不是自然規則,要如何達到目的,於是就進一步在向量的 xyz 三分量上做以下外
積規則定義(見 http://elearning.stut.edu.tw/mechanical/Statics/newpage23.htm 的詳述)

i ╳ j = k  i ╳ k = -j  i ╳ i = 0

j ╳ k = i  j ╳ i = -k  j ╳ j = 0

k ╳ i = j  k ╳ j = -i  k ╳ k = 0

也由於以上定義的規則,達到決定力矩正負的目的,以及方向的副效果,尤其是"方向的副效果"在 3D 幾何上有意想不到應用



[ 這篇文章被編輯過: cxxlman 在 2010-03-29 14:17:57 ]
19:Lucky~榮譽點數14點(大學理工科系)張貼:2010-04-02 23:50:48:來自 國立清華大學 [回應第6篇]
世界上並不是一開始就統一使用右手定則的

在20世紀中期的社會主義國家的確是使用左手定則
(大概是為了和資本主義國家做對吧...)

在數學上外積的運算有一個Levi-Ce... symbol (= -1 or 0 or 1)
使用右手定則跟左手定則唯一的差別只有這個symbol的定義方式不同而已

這是個事實, 根本不用證明......



20:Hydrogen Dioxide(研究所)張貼:2010-06-16 14:08:22:地點 台灣嘉義 [回應第1篇]
Quote:
在 2005-11-10 23:26:46, 隨便你叫 寫了:

向量座標化以後,外積是有公式的(不會的人去看高中數學課本).由公式可以推導出 皆垂直,而且的長度等於.(我累了,不想寫證明了......)

但是這樣子並不足以看出右手定則:右手四指由的方向轉為的方向時,大拇指所指的方向規定為 的方向。

[ 這篇文章被編輯過: 隨便你叫 在 2005-11-10 23:35:07 ]

定則是可以證明的嗎?
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