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近代物理 標題:導證PV=nRT
1:王慈甦榮譽點數9點 (研究所)張貼:2004-11-13 16:44:53:

若從理想氣體分子正向完全彈性碰撞一正立方體的器壁,來推得器壁的所承受的壓力可得到一結論:壓力P=Nmv^2/3V《N:分子數,v:分子速率,V容器體積,m:一個分子的質量》

如果我再把單原子氣體的方均根速率《3kT/m,開根號》代入便可得到PV=NkT=nRT。

但如果是將雙原子或三原子氣體的方均根速率代進去則結果就會被改寫,但理想氣體方程式不是適用於任一種理想氣體嗎?不論是單原子或雙原子!

現有的想法:

雙原子方均根速率是想找一個速度直接代進動能公式1/2mv^2=5/2kT,移項可得其方均根速率5kT/m,開根號。但雙原子比單原子多出來的1kT能量是來自於轉動的內動能,硬是找個速度代進動能公式來表現整體的動能,好像有點怪怪的,所以會不會是不論是雙或三原子其討論碰撞的時後都應該以其質心速度來看呢?因為不論是單.雙.三原子其質心動能在溫度固定的條件下皆相同=3/2kT,所以在找質心速度的時後便皆可寫成1/2mv^=3/2kT,即便都是找一個速度代進去能夠表現其質心動能!所以之前在導PV=NkT=nRT才不會因為一分子所含原子數的不同而有不同的理想氣體方程式出現?

             


2:joooe榮譽點數2點 (大學理工科系)張貼:2004-11-13 18:16:18: [回應上一篇]
嗯...很有趣的問題...
會不會是不論是雙或三原子其討論碰撞的時後
都應該以其質心速度來看呢?

應該是的...因為轉動的部分(及分子間的位能)不影響P,V,所以不論如何"PV=(1/3)mV^2rms ,where Vrms~分子質心移動的方均根速率"這個式子都成立.

事實上,在溫度還沒被定義成分子平均運動動能之前,人們早就已經有溫度的概念了,也早就由實驗得到PV=NRT的結果了…只是當時還不知道,從微觀角度來看時,溫度到底是什麼呢?

而從微觀的觀點,我們可以得到PV=(1/3)mV^2rms…

所以若把微觀的觀點和以前實驗的結果(PV=NRT)連結起來,就會發現:原來我們以前所量的溫度就是分子質心平均”移動”動能的某個常數倍,這也就是溫度的微觀意義了...NRT=(1/3)mV^2rms,此處的T既然已經這樣定義了,我想應該不能再隨便改吧(1/2mv^2=5/2kT,您這個式子中的v不再是質心平均”移動”的方均根速度了)。

為什麼轉動部分的能量加進去後,結果卻一樣呢?

由前面的討論(PV=(1/3)mV^2rms),我們可以看到:影響到系統P,V的就只有移動(Vrms為整體質心"移動"的方均根速率)的部分而已(ie,"這個"微觀模型告訴我們:轉動動能不會影響P,V),也因此系統即使多了分子內部的轉動動能,對於系統的P,V並不會有所影響,也就是說:理想氣體狀態方程式不會改變。



3:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2004-11-13 18:37:03: [回應上一篇]

PV=nRT這適用於理想氣體分子

理想氣體分子沒有大小(所以與轉動無關) 之間沒有作用力(所以與質心無關)

所以不能用王慈甦的方法來推導PV=nRT

PV=nRT的導法參見普通化學課本 或普物熱力學章節

首先是PV=C

PV/T=C         ∴ .........

R有個特殊的方法得到 好像是數學方程解出的 不清楚 有空請自己翻閱書本

工程上很少用到這式子 因為考慮的是實際的工程問題



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2004-11-13 18:39:14 ]
4:王慈甦榮譽點數9點 (研究所)張貼:2004-11-13 19:14:52: [回應上一篇]

喔?可是這個方法是我普化老師教的耶,老師是以單原子的觀念來證!

嗯...單原子應該是最接近理想氣體的。

而關於後面雙原子、三原子則是我個人提出的質疑!

PV=nRT,我也知道可以用波以耳啦,查理給呂薩克啦,亞佛加厥定律互相交集一下出來,

但不覺得老師的方法也很有意思嗎?

我的疑問就是,為何列理想氣體方程式的時後能不論氣體種類《只要能知道總莫耳數,各分壓的總合》,而在推證的時後卻會發生問題?


5:王慈甦榮譽點數9點 (研究所)張貼:2004-11-13 19:50:26: [回應上一篇]

雙原子氣體的方均根速率是5kT/m,開根號,沒錯ㄚ!

但你的觀點也沒錯,這的確不能代表分子平均質心的平移速度,因為這個速度的意義大了點

^^///!

我有個直覺的想法:

單:3/2(P1)V=3/2(n1)RT

雙:5/2(P2)V=5/2(n2)RT

三:7/2(P3)V=7/2(n3)RT  

    以上三式各代表著不同氣體子在同一密閉容器內所表現的的能量,

    如果我把三式相加==>

         【(P1)+(P2)+(P3)】V=【(n1)+(n2)+(n3)】RT

                  ===>【P總】V=【n總】RT ....好像單純了點^^///!


6:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2004-11-13 20:01:20: [回應上一篇]

我沒有仔細看妳上面近幾格的推導(∵我急著趕回書房唸物理化學)

不過 我記得單操還是化工動力的書本有講過 妳需要多考慮 自由度的問題

可能這樣吧 如果錯了請師長先進指正



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2004-11-13 20:02:51 ]
7:王慈甦榮譽點數9點 (研究所)張貼:2004-11-13 20:31:50: [回應上一篇]

還是理想氣體方程式僅是可以讓不同種類的原子氣體用!

而不同種類指得並不是單、雙、三之間的差異!

因為雙原子以上的氣體分子看起來還是與理想氣體離得遠了些!


8:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2004-11-13 20:40:13: [回應上一篇]

對啊 沒錯 就是這樣

一般熱力學處理問題的模式 和動力學差很多.(所以盡量別用動力學來處理 比較好)

熱力學在宏觀上 使用數學方程式來解決問題 之後才交代物理意義 在微觀上則是氣體動力論之類的處理模式 (例如 : 統計力學 Maxwell速率分布..)

如果處理的對象是真實氣體分子 因為要考慮分子間彼此造成的內壓$(\frac{\partial{U}}{\partial{V}})_T=\frac{an^2}{V^2}#width=90&height=72$

所以不能用 PV=nRT來表示 而需要用( P-(an2/V2) )*(V-nb)=nRT

理想氣體的$(\frac{\partial{U}}{\partial{V}})_T=0#width=72&height=51$(物理意義 : 理想氣體分子運行的體積 不是內能的函數)

所以( P-(an2/V2) )項直接是P-0=P  本身體積為零 所以V-nb項直接等於V-n*0=V 因此理想氣體用PV=nRT描述



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2004-11-13 20:53:49 ]
9:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2004-11-14 15:16:39: [回應上一篇]
Quote:
在 2004-11-13 19:50:26, 王慈甦 寫了:

我有個直覺的想法:

單:3/2(P1)V=3/2(n1)RT

雙:5/2(P2)V=5/2(n2)RT

三:7/2(P3)V=7/2(n3)RT  

    以上三式各代表著不同氣體子在同一密閉容器內所表現的的能量,

    如果我把三式相加==>

         【(P1)+(P2)+(P3)】V=【(n1)+(n2)+(n3)】RT

                  ===>【P總】V=【n總】RT ....好像單純了點^^///!


以上推論只能說是 三種類的氣體分子混雜在系統中

總壓=Σ分壓 (此乃 Dalton's partial pressure)  並不能因此而論及PV=nRT的推導即是如此喔


10:joooe榮譽點數2點 (大學理工科系)張貼:2004-11-14 15:23:51: [回應上一篇]
Quote:
在 2004-11-13 20:31:50, 王慈甦 寫了:

還是理想氣體方程式僅是可以讓不同種類的原子氣體用!

而不同種類指得並不是單、雙、三之間的差異!

因為雙原子以上的氣體分子看起來還是與理想氣體離得遠了些!




不過我覺得只要分子不要太大,雙原子或三原子分子仍然可以非常接近理想氣體.因為多出的轉動幾乎不影響P和V,所以理想氣體方程式仍適用.

11:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2004-11-14 15:29:33: [回應上一篇]

如果分子運行的體積 和分子本身的體積很接近的話 並不能使用PV=nRT

大學版 氣體動力論的單元有說

             1.當 氣體分子本身體積b<<氣體分子運行的體積dV=3r2dr 時

             2.且 氣體分子彼此之間 因為相距遙遠

                    故由F=-dU/dr (by L'hopital's rule) = -d2U/d(r2)=0 .........(*)

                    彼此之間互作用力為零

符合 理想氣體定律

其中 dV=3r2dr => r2=d(r3)/3dr => ∵r→∞  ∴分母的r忽略(發散速率小於分子的r3) 故r2運算結果為∞ 代入(*)式得F=0



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2004-11-14 15:42:41 ]
12:王慈甦榮譽點數9點 (研究所)張貼:2004-11-14 19:02:55: [回應上一篇]
嗯嗯,我高中也有做過單原子和雙原子混和的題目,好像題目有強調都把他們當做理想氣體,所以我最後在求平衡壓力時也是直接以..(P總)V=(n總)RT去列式<==《這步是分析到最後的階段啦,不是一開始這樣列就結束了^^///》
13:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2004-11-14 20:43:21: [回應上一篇]

如果是高中的題目 當然假設不考慮自由度的時候 可以當成理想氣體分子 不論是單雙還是三

但是當考慮自由度之後 就不是理想氣體分子了  (甚至還有線性非線性分子之分 這個物理系的可能沒聽過)

建議妳如果真的對物理有興趣 請多找幾本書本來檢視自己的想法 比較實際



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2004-11-16 00:07:09 ]
14:littlefly榮譽點數6點 (大學理工科系)張貼:2004-12-07 23:27:44: [回應上一篇]
Quote:
在 2004-11-13 19:14:52, 王慈甦 寫了:

喔?可是這個方法是我普化老師教的耶,老師是以單原子的觀念來證!

嗯...單原子應該是最接近理想氣體的。

而關於後面雙原子、三原子則是我個人提出的質疑!

PV=nRT,我也知道可以用波以耳啦,查理給呂薩克啦,亞佛加厥定律互相交集一下出來,

但不覺得老師的方法也很有意思嗎?

我的疑問就是,為何列理想氣體方程式的時後能不論氣體種類《只要能知道總莫耳數,各分壓的總合》,而在推證的時後卻會發生問題?


 

有意思沒意義阿....

你的分均跟速率怎麼來的還不就1/2mv^2=3/2ktㄇ

當初分子動力論就不是以雙園子為假設

要試以雙園子出發就不會有以上問題......

pv=nrt是實驗出來的很稀薄的氣體能有很好的近似..

怎麼會有問題


15:phyc榮譽點數48點 (研究所)張貼:2004-12-08 23:25:31: [回應上一篇]

PV=nRT是實驗歸納的結果,
(而不是推導來的)
我們先從單原子模型出發,
經由牛頓力學導出PV=(1/3)mv^2,
將這兩個式子取交集之後,才得到了一顆原子的平均動能為(3/2)kT,

建立在以上的模型,
我們開始探討雙原子分子模型,
單原子只有移動動能,
在x,y,z三個方向一共是三個自由度,
每一個自由度被分配到(1/2)kT,
而雙原子分子考慮轉動,一共三個方向的轉軸,
但是當中有一個轉軸與共價鍵平行,
這種情形下轉動慣量為零,不會有轉動動能,
所以轉動方面只考慮了兩個自由度,
總和來說,雙原子分子一共有五個自由度,
所以一顆分子的平均動能是(5/2)kT,
這裡我們還不考慮到振動,
如果振動現象很明顯,就必須將振動的自由度也納入考慮,
這種每個自由度分配到(1/2)kT的作法,
就是"能量均分原理",

這些內容在Serway的<<物理學原理>>有詳述,
(Principles of Physics/third edition)
搞清楚來龍去脈之後,應該就不會再對這個問題有疑惑了


16:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2004-12-11 07:34:51: [回應上一篇]
Quote:
在 2004-12-08 23:25:31, phyc 寫了:

PV=nRT是實驗歸納的結果, (而不是推導來的)


本來是實驗歸納的結果沒錯

後來有人用熱力學 可以''證明''他是對的

不過我覺得應該不是 用熱力學來''推導''出PV=nRT

這個問題有點像 發現VS.發明 一樣

一個是蠻頭苦幹發現了一個定理 一個是把別人辛辛苦苦的定理拿來驗證一樣(有兩種可能 : 1.不太相信 所以跑去驗證 2.太欣賞了~ 直接拿來用吧 在實務中驗證別人的定理 覺得 嗯~真的蠻好用的)

我個人比較偏向2.


17:蘇阿寧 (高中職)張貼:2004-12-16 22:31:19: [回應上一篇]

PV=nRT

不是只有化學可以用嗎

為什麼在物理也可以阿...


18:王慈甦榮譽點數9點 (研究所)張貼:2004-12-16 23:57:07: [回應上一篇]

等你學到高中物理第12章,分子運動論,就會教到喔!

你在高中所學到相關熱力學內容,物理比化學要完整且豐富些!


19:狄卡爾榮譽點數25點 (大學理工科系)張貼:2004-12-17 17:30:18: [回應上一篇]

Quote:
在 2004-12-16 22:31:19, 蘇阿寧 寫了:

PV=nRT

不是只有化學可以用嗎

為什麼在物理也可以阿...


純物理是主張氣體分子看作 理想粒子 只狹義的討論 PV=nRT而已 且僅沿革動力學的思考模式

化學和化工(應用化學)則還考慮了內壓n2a/V2

以及 Van-de-Walls's方程 : 壓力P= nRT/(V-nb) - n2a/V2

詮釋方式乃 引用實驗觀察到的現象 與大量的數學工具

因為工廠的生產線 有安全的顧慮 與化工經濟的考量 所以一般化工的學生必須考慮實際的氣體方程(不只是以上的方程式 還有各種條件下的方程 譬如 : 高壓氣體反應時 需要引入維里方程) 不能僅考慮PV=nRT 容易發生意外!



[ 這篇文章被編輯過: 狄卡爾 在 2004-12-18 19:59:18 ]
20:Hydrogen Dioxide張貼:2006-02-28 18:56:36: [回應上一篇]

那麼有興趣的人 推導 : equipartition theorem E=κT/2 (以上各討論之基本的最基本)

我剛看過統計熱物理的書 ; 導完了. 哈哈


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