聲波的波形與頻率的關係
五、實驗結果與分析

1.音叉的振動

 (1)頻率為261赫

波形顯示與正弦波極為相似,其波譜分析如圖十六,經過FFT結果如圖十七,圖中顯示除了基頻之外,還有泛音的成分,例如 n=2 的泛音其振幅僅為基音振幅的2%,強度則僅0.004%。其餘泛音更是微不足道,幾乎可看成單頻的聲音。圖十八為各泛音的相位(phase)。

  (2)頻率為523赫
 

  波形 (圖十九) 仍然為正弦波,而由頻譜分析圖(圖二十)得知泛音所占的比例較基頻為261赫者更小,與我們所預測相符合。
2.洞簫的聲音

  (1)基頻為525赫

  一般洞簫所有的孔都蓋住時,吹出的聲音是C調的Re音,第一個Do音的頻率為523赫,通常簫、笛等樂器的頻 率不像弦樂器可以任意調整。經分析, 本實驗所用的洞簫的 Do 音, 其頻率為525赫,也算是相當不容易了。
波形如圖二十一,至於各泛音振幅的分布如圖二十 三,主要的泛音為 n=2 和 n=3。

  (2)基頻為890赫

   傳統國樂器的音調常常不甚精確,實驗所用的洞簫的La音頻率並不是880赫,而
是891赫。其波形如圖二十四,頻譜如圖二十五,相位分部如圖二十六。

   圖二十五和圖二十二很類似,因為同樣是洞簫,音質一樣。

3.笛子的聲音

 基頻為1050赫

 梆笛聲音高亢,吹出最低的Do音頻率為1050赫,波形如圖二十七,頻譜及相位如圖二十八和二十九。 由圖可知其泛音的組合僅前幾項有貢獻。

4.鋼琴的聲音

 (1)中央C音﹐頻率為261赫
    波形如圖三十﹐頻譜和相位分布如圖三十一和三十二﹐第十諧音的振幅為基音振幅的1.7%﹐第十三諧音為0.73%,其餘諧音雖然較小,但是第三十六諧音的振幅仍有0.67%。
(2)比中央C音高八度﹐頻率為523赫波形如圖三十三,與頻率為261的中央C音略有差異,許多教科書所付的鋼琴波形通常和圖三十二相同。圖三十四為Hewitt 寫的 “Conceptual Physics” 一書中的鋼琴波形。
 頻譜分析和相位分布如圖三十五與三十六.

5.吉他的聲音

 (1)頻率為131赫
   吉他C調的Do的頻率比鋼琴
的中央C (即C4) 低八度,故其頻率為131赫。波形、頻譜和相位分布如圖三十七、三十八和三十九。
 (2)頻率為262赫
    此音的位置在第二弦的第一格,頻率與鋼琴的中央C相當。波形、頻譜和相位分布如圖四十、四十一和四十二。
(3)頻率與上項相同,即262赫,但在不同的時刻取樣。波形和頻譜如圖四十三,和四十四。
由圖四十、四十三可知同一次振動,在不同的時刻取樣,其波形和頻譜有很大的差異。


6.中提琴的聲音

 利用中提琴發出523赫的聲音,其波形、頻譜和相位分布如圖四十五、四十六和四十七。

7.二胡的聲音

 二胡發出基頻為523赫的聲音,其波形、頻譜和相位分布如圖四十八、四十九和五十。

8.市售Pilot High-Tech-C簽字筆套

此筆套為一閉管,管內中空部分長為4.00公分,開口部分的內徑為0.94公分,但閉口端內徑較小,無法正確量出。實驗結果其波形如圖五十一,經分析其基頻為1920赫。
頻譜如圖五十二。

實驗時的氣溫為15℃,聲速v

v = 331+0.6 ×15 = 340 (公尺/)

 基頻應為


()

實驗所得的與利用公式計算所得的誤差為12%
我認為這些誤差有兩個主要的來源:一是管子不是圓柱體,即兩端的內徑不一樣,另一個原因是管子的開口端並不是位移波的波腹,通常處理管內空氣柱振動時,應該加上管口修正量(end correction)

 【討論】管口修正量

(1)閉管的管口修正量

管內的空氣柱形成駐波時,管口並非位移波的波腹,圖五十三中,波腹通常在管口外,與管口有一段距離c,稱為管口修正量。

當空氣以基頻振動時,

       λ= 4 ( + c) 或   
Helmholtz Rayleigh 曾經發展出管口修正量的數學理論,
一般採行的結果是:若管的內半徑為r,則修正量 c = 0.6r,而且,修正量還與波長有關,通常波長越小,修正量也越小。
(2)開管的管口修正量 由圖五十四可知當管內空氣以基頻振動時,由於管的兩端均有修正量,故

λ=  2 ( + 2c)

此部分用的是閉管,經管口修正量處理,計算得本實驗的基頻為:

實際測得的基頻為1920赫,與公式所得誤差為3.3%


9.市售某油性速乾筆套

一般的閉套內部常寬窄不一,上項實驗所用 HighTech筆套即其一例。本項實驗所用的筆套內部寬窄一致,而且容易將閉口端挖開成為開管,做另項實驗。管的長度為5.7公分,內半徑為0.67公分。

(1)閉管時,所得波形如圖五十五經由FFT得其頻率為1330赫。頻譜如圖五十六

 (2)將此筆套的另一端挖開成為開管時,所得波形如圖五十七,FFT得其基頻為2400赫。頻譜則為圖五十八。



 

【討論】若不考慮管口修正量時,閉管的基頻應為
  但是實際上基頻為1330赫。
若考慮管口修正量時,

閉管的基頻為

把實驗的數據代入

c = 0.00691 (公尺)= 0.691 (公分)

若將此修正量的值用到開管的情況:

開管的基頻為
 

()


此頻率恰為本項實驗中的基頻。
 

10.縫紉用紗線軸 此為用於縫紉機的車線環繞的軸心,為空心圓柱形,長度為0.0492公尺,內半徑為0.0055公尺。原為開管,我們進行兩次:一次將一端封閉成閉管,另一次則為開管。

(1)閉管時所得波形如圖五十九頻譜如圖六十

 經由分析得出基頻為1580赫。

值得注意的是,在頻譜分析圖(圖六十)我們發現雖然是閉管,但是偶次泛音也存在。這與一般所說閉管的頻率 n=1,3,5,7,…. 並不吻合,其原因尚待探討。在圖五十五(某油性速乾筆套閉管時的頻譜圖)中,同為閉管,但是僅奇次泛音有貢獻。

 (2)開管時所得波形如圖六十一頻譜如圖六十二經分析其基頻為2940赫。

 
【討論】
如果布考慮管口修正量,閉管的基頻應為
 


實際上基頻為1580赫。

若考慮管口修正量c,則

閉管的基頻為

把實驗的數據代入 

c = 0.0046(公尺)= 0.46 (公分)

若將此修正量的值用到開管的情況:

開管的基頻為
 

()


與實際測得的2940赫做比較,約有1% 的誤差。


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作者:北一女 張仁昌老師
網頁製作:國立台灣師範大學物理系黃福坤
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