聲波的波形與頻率的關係
四:原理分析

 通常我們聽到樂器的聲音,其聲源振動適合駐波條件,在此僅考慮弦和空氣駐的振動。

1.兩端固定的弦振動形成的駐波
 

右圖中,設弦的長度為,由於固定端應為波節處,其間可以另有波節,也可以沒有波節,圖中的NL分別為波節和波腹的位置,故弦長必為半個波長的整數倍,即:

或 

因波速 v v = f λ 式中的f為頻率

n 為正整數

n=1 時的聲音稱為基音,其頻率稱為基頻;

n=2,3,4,…. 時的聲音稱為泛音,其頻率稱為泛頻。

 基音和泛音統稱諧音。
 

2.閉管空氣柱形成駐波:  
外來的干擾(如吹氣)經由此開口端使管內的空氣柱發生振動形成駐波,以管內介質(即空氣分子質點)的振動位移而言,開口端為波腹,閉口端則為波節,其間可以另有波節,也可以沒有波節,故當空氣柱形成駐波時,管長為四分之一個波長的奇數倍,見右圖。設管長為,波長為 λ,則

n=1,3,5,7,…

駐波的頻率則為

n=1,3,5,7,…

n = 1時的聲音稱為基音,其頻率稱為基頻

n = 3,5,7,….時的聲音稱為泛音,其頻率稱為泛頻。
 

3.開管空氣柱形成駐波  
若為開管(兩端皆須打開),以管內介質(即空氣分子質點)的位移而言,兩端均為波腹,其間可以另有波節,也可以沒有波節,故當空氣柱形成駐波時,管長為二分之一個波長的整數倍,見右圖。設管長為,波長n

n=1,2,3,4,….

駐波的頻率則為

n=1,2,3,4,….

n等於1時為基音,其餘為泛音。
 

4.音色 (quality)  
我們常常可藉由聽到樂器的聲音就能分辨出是那一種樂器,這是因為各個樂器有不同的音色,也有一些樂器不容易分辨出聲音,則是因為他們的音色相近。樂器發出聲音時,介質(弦或空氣柱)振動的頻率通常不只一個,實際上是基音與泛音的組合。

只有在某些特殊的情況,例如音叉,發聲體才只發出單一頻率的聲音,此時介質某處的振動量y與時間t的關係為  y = Asinωt 波形如圖十四。


圖十四



如果發出的聲音為多種諧音的組合,例如有五個諧音的組合如下:

y = sin(x)+0.8sin(2x+2)+0.3cos(3x)-0.4cos(4x)+0.2sin(5x)

式中可看出這五個諧音的頻率為

 ω、2ω、3ω、4ω、和 5ω,其中ω 為基頻,其餘為泛頻;
而各項前面的係數為該諧音的振幅。則其波形如圖十五。

圖十五

各樂器有獨特的聲音就是因為這些諧音中各個成份的振幅不同,強度也就不同,表現的波形不一樣,就形成不同的音色。

一週期性的波,通常可以寫為

式中的 φn 稱為相常數。

各成分波的強度(或能量)與振幅 An 平方成正比。


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作者:北一女 張仁昌老師
網頁製作:國立台灣師範大學物理系黃福坤
最後修訂時間:  since 2011/06/20