親愛的！我把孩子縮小了！--- 尺度的物理效應 （scaling)

    科幻電影中, 有小人國的世界.

    若是有另一個獨立的太陽系, 和我們的太陽系近乎相同.

      整個巨觀物體的尺度都以等比例尺度縮小（例如十分之一）.

      但微觀尺度例如物質的結構,密度等都不變.

    一切的生活情形還會都一樣嗎？參考說明

      1. 地表的重力場強度還會一樣嗎？

      2. 地球繞日的週期會改變嗎？

      3. 舉重能力還會一樣嗎？

      4. 若是反過來, 一切以等比例尺度放大, 又如何呢？

      5. 若是地球上, 存在有小人國（重力場不變）, 那又如何呢？

讓我們由另外一個角度再思考一些問題？

    1. 為何地球上的小動物, 例如

      螞蟻可以背負較本身重量大很多的東西, 行動看起來輕快很多.

      而體型較大的動物,例如大象, 行動起來較緩慢？

    2. 為何人們可以輕易的由水中站起來, 爬上岸.

      但是蒼蠅等小動物, 要是全身浸水就不太容易行動? 甚至會被淹死！

    3. 為何沒有體型比老鼠小很多的溫血動物？為何溫血小動物整天吃個不停？

    4. 為何螞蟻從桌面上掉下, 不會被摔死. （桌面高度是螞蟻長度的數百倍)

      人若從三層樓掉下來, 不死也殘廢. 可是小嬰孩比較容易存活。

      越南航空飛機失事，只有一小孩倖存，和這有關嗎？

    5. 體型大的動物（例如：大象）和體型小的動物（例如：老鼠，小鳥）

      所發出的聲音，（頻率上）有何差別？為什麼呢？

小人國參考說明：

  1. 地表的重力場強度還會一樣嗎？

      2. 地球表面的重力場強度, g = GMe/Re2

        其中 Me 是地球的質量, Re 是地球的半徑.

      由於質量正比於尺度L的三次方. 而半徑 Re 正比(等)於尺度 L.

      因此重力場強度 g 正比於 L3/L2 = L.

      所以地表重力場強度 將變為原來的十分之一.

  2. 地球繞日的週期會改變嗎？

      3. 行星運動第三定律: R3/T2 = GMs/(4π2)

        所以 T2 正比於 R3/Ms => 正比於 L3/L3 = 1

      因此地球繞日的週期不會改變.

  3. 舉重能力還會一樣嗎？

      4. 由於骨骼支撐能力和骨骼截面積 L2 成正比,

      骨骼需至少支撐本身的重量 = m g 正比於 L3 * L = L4

      因此舉重能力（和自身重量比）L2 / L4 = L-2 變大了.

      （可抬起更多人）

  4. 若是反過來, 一切以等比例尺度放大, 又如何？

    5. 地表的重力場強度將會隨尺度成正比增加.

      大到某程度後, 沒有任何物質能支撐如此大重力場強度的結構物.

        於是不會存在結構物,

      而表面變成球面. 這也是星球都是近乎球體的原因.

      大到更高程度, 則萬有引力將破壞原子結構,

        奔潰形成中子星, 甚至黑洞.

    尺度愈大, 受萬有引力（體積）的相對影響愈大. 表面效應作用相對影響愈小.

    反之, 尺度愈小, 表面效應作用影響愈大. 受萬有引力（體積）的影響愈小.

體型不同的影響

  1. 為何地球上的小動物, 例如

    2. 螞蟻可以背負較本身重量大很多的東西, 行動看起來輕快很多.

    而體型較大的動物,例如大象, 行動起來較緩慢？

      由於骨骼支撐能力和骨骼截面積 L2 成正比,

      而動物本身的重量和尺度 L3成正比.

      因此若是體型縮小為原來十分之一,（骨骼截面積變為原來的百分之一）

        所能支撐的總重量變為原來的百分之一.

        但是自身的重量卻變為原來的千分之一.

      因此自然顯的輕快許多, 也有多餘的能力支撐本身重量以外的負擔.

      反過來對大象或古代的巨大恐龍而言, 就辛苦多了.

      因此小動物的腳截面積可相對小一些.

      但體型大的動物, 若等比例放大, 則就要站不起來了.

      鯨魚還好是生活在水中,

        要不然他的骨骼是支撐不了自身的重量的.

      支撐能力與自身重量的比值, 等於 L2/L3=1/L.

      因此將建築物等比例縮小不會有安全上的問題,

        如果等比例放大, 則會有垮下的危險.

      等比例縮小做模型屋或模型車不會有問題,

        但若是以不會倒的模型屋等比例放大蓋房子, 那可就危險了！！！

        除非支柱的大小以 L3/2的比例增加.

      因此考古學家往往可以從動物骨骼的大小形狀, 來判斷動物本身體型的大小.

  2. 為何人們可以輕易的由水中站起來, 爬上岸.

    3. 但是螞蟻等小動物, 要是全身浸水就不太容易行動?甚至會被淹死！

      浸水後, 會在全身表面覆蓋一層水.

      其（水）總重量將正比於表面積 L2.

      和本身的重量 L3 比起來. 相對量和 1/L成正比.

      因此對越小的動物而言, 就相對重很多.

    蒼蠅浸水後, 需支撐的重量幾乎變為本身重量的兩倍, 自然就爬不起來了.

  3. 為何沒有體型比老鼠小很多的溫血動物？

      4. 溫血動物會透過皮膚散熱出去,

        因此熱量損耗正比於表面積 L2.

      這些損耗必須靠食物補充能量.

        因此食物消耗量也正比於 L2

      食物消耗量與自身的重量比值等於 L2/L3 = 1 / L

        例如：人若縮小為 1/10. 重量變為 1/1000.

        但皮膚表面積變為 1/100.

      因此老鼠等較小溫血動物需吃相對較多的食物（與自身體重相比）.

      所以小動物需整日覓食, 只為補充能量.

      較大體型動物, 雖吃的量較多, （但與本身重量比起來較小）.

        往往一日一餐即可. 甚至多日才一餐.

      若有比老鼠更小的溫血動物, 即使不需覓食.

        整天不斷的吃, 都不易獲得足夠的熱量來維持生存.

  4. 為何螞蟻從桌面上掉下, 不會被摔死. （桌面高度是螞蟻長度的數百倍)

      5. 人若從十層樓掉下來, 不死也殘廢.

      當物體在重力場作用下時, 會以等加速度落下.

      但由於受到空氣阻力的影響.(需將空氣推開）

      而 空氣阻力 和 截面積 成正比

        （也和 速率 或 速率平方 成正比）

      若掉下足夠高度時, 速度增加 使得 空氣阻力與重力 一樣大時,

        之後, 物體便會以 等速度落下（終端速度）.

      此終端速率 v 與物體重量 L3 成正比, 與物體截面積 L2 成反比，

        則 終端速率 v 與尺度大小 L 成正比。

      因此 小螞蟻很快便達到終端速度而緩慢下降.

        但體型越大的物體 , 越 禁不起摔倒.

歡迎你的意見：E-mail hwang@phy03.phy.ntnu.edu.tw 師大物理系 黃福坤