在 Syene 城市的高牆，正好都沒有影子產生。
但是同時在北方距離約 800公里的 Alexandria 城市的高牆卻仍有一段影子。
測量影子長度與牆高，得知影子與牆頂連線和垂直線的夾角為 7.2°
藉由以上的資訊，估算出 地球的周長約 40,000公里。
你想 是如何估計的呢？下圖是提供給你一些提示呢？
地球、月亮與太陽的大小
科學的興起 主要在於 人們將所欲探討事物的性質 加以量化，
測量的精密度 也標示著 科學的進步。
凱文（Kelvin）曾說：
" 如果你無法將所探討的 加以測量並用數字表示，表示你對它 瞭解的有限。
如果你能夠加以量化並測量，表示你對它 已經開始有些瞭解"。
我們來回溯一下，古代的人們是 如何估計 地球、月亮與太陽的大小的呢？
以下說明時會列出參考數據，如果你真的有心想 學習，請千萬親自好好算一下！
（你可以坐在駕駛後面觀摩開車 10年，還是不會開車，只有親自學習才能學會）
地球的大小：（地球平均半徑 6.371×106m)
早在西元 前235年（兩千多年前）埃及人便估算了 地球的大小。
當時已經知道 六月二十二日正午時，太陽日正當中。
在 Syene 城市的高牆，正好都沒有影子產生。
但是同時在北方距離約 800公里的 Alexandria 城市的高牆卻仍有一段影子。
測量影子長度與牆高，得知影子與牆頂連線和垂直線的夾角為 7.2°
藉由以上的資訊，估算出 地球的周長約 40,000公里。
你想 是如何估計的呢？下圖是提供給你一些提示呢？
月球的大小：（月球平均半徑 1.74×106m)
由觀測月蝕的情形，如下圖是否可以估算出 月球與地球的 半徑比呢？
因為地球的半徑已知，故可以估算 月球的半徑。
地球與月球間的距離：(平均距離 3.85×108m)
如下圖，若是夜晚觀賞月亮時，手上拿著一顆彈珠對準月亮時，
彈珠恰好擋住月亮的外形輪廓，如此你能估算出月球與地球間的距離嗎？
太陽的大小：（太陽平均半徑 6.96×108m)
我們眼中看到月球的大小（視角）似乎與太陽的大小差不多！
月球直徑與地球和月球間距離的比值 ∼太陽直徑與地球和太陽間距離的比值
∼ 1/110。
如果我們能先估計 地球和太陽間距離 則也就可以估算 太陽的大小了！
( 地球和太陽間平均距離 1.50×1011m ）
當 半月時月球與太陽的連線 和 月球與地球的連線 恰成 90°(如下圖）
在同時可看見月球與太陽時，測量月球與太陽連線 和地球與太陽連線的夾角
（由測量地球與月球連線 和地球與太陽連線的夾角推算）
再由 圖中黃色區域內 公式 便可估算地球與太陽間的距離。
太陽的質量 （1.987×1030 kg） 與地球的質量（5.975×1024 kg）
現代 我們由 克卜勒第三運動定律 ：
軌道半徑三次方 與 軌道周期的平方 的比值。
如上式，萬有引力 恰好提供 圓周運動所需的向心力。
由地球繞日的軌道半徑與周期，可以估算出 太陽本身的質量。
由月球繞地球的軌道半徑與周期，可以估算出 地球本身的質量。
厲害吧！ 你能想出其他 『秤』出太陽或 地球質量 的方法嗎？
當然是 無法用 『天平』 的啦！
當年 卡文迪西 測量出 萬有引力常數 G值 時，
他便宣稱是第一個測出了地球質量的人。
因為由地球表面的重力場強度 g 與地球本身的半徑，藉由萬有引力定律
當已知 萬有引力常數後，便剩下 地球質量一個未知數了！
你如果已經知道月球表面的重力場強度約為地面的 1/6 （1.62 m/s2)
是否可以估算出 月球的質量呢？（7.35×1022 kg）
藉由 地球、月球與太陽的質量與 平均半徑 是否 請你比較一下三者的密度呢？
計算前 先猜一猜 三者密度 大小的順序為何？
也估算一下太陽表面的 重力場強度吧！（參考數值： 274 m/s2)
其他參考數據：
地球繞日周期： 365 天 5 小時 48 分。
（記得高中時我由此數據推算數千年內 潤年的法則，你不妨也試一下吧！）
地球自轉周期：23時56分4.1秒。
月球繞地球周期 27.3 天，月球自轉周期恰好也是 27.3天（好巧喔！）
太陽繞銀河周期約 200×106年，（自轉周期約 26 天）。
地表溫度 ∼ 287K，月表溫度∼ 125-375K，太陽表面∼ 5.8×103K
地球密度 5.52×103 kg/m3，月球密度 3.33×103 kg/m3，太陽密度 1.41×103 kg/m3。
讓我們藉由熱平衡 估算一下地表的溫度：
太陽表面溫度約 5800K，假設其為理想黑體 則 單位面積輻射能 = σTs4
太陽表面總 輻射能 為 σTs4 (4πRs2) ，其中 Rs 為太陽半徑
太陽輻射能向四面八方輻射出去，當抵達地表時 單位面積的輻射能變為
σTs4 (4πRs2)/(4πd2) ，其中 d 為 地球與太陽間 平均距離。
地球表面只有半面面向太陽 ，若地表溫度為 Te，平衡時
地球所吸收總能量 = 地球所輻射總能量
σTs4 (4πRs2)/(4πd2)*πRe2 = σTe4 (4πRe2 )
因此 Te4 = Ts4 ( Rs2/ d2)/4 ， 2Rs/ d 為地球上所見太陽的視角。
將數值帶入 可得 Te = 278 K。
（由於地球表面有大氣層，會使大部份太陽的輻射透過，但卻會吸收地表的輻射）
因此會使地球表面的溫度 略高於 上述估計值。
（若是因為某原因 使地表蒙上一層灰塵使得 太陽的輻射穿不透，
但卻又能讓地表輻射能射出去 --地表溫度較低，輻射能相對波長較長，
則 地表的溫度 將更低於上述數值，有人說或許 恐龍就是因此而 滅亡的）
我曾經於去年奧林匹亞國家代表隊的選拔過程中，出過上述問題的詳細計算。
挺有趣的！ 進入準決選的高中生幾乎都能完全答出來。你試過了嗎！
月球表面由於沒有大氣層 因此 面對太陽與背對太陽的溫度 相差很大。
若 考慮 面對太陽的表面 ，單位面積吸收太陽的能量 = 單位面積輻射的能量
σTs4 (4πRs2)/(4πd2) = σTm4
則可以估算 月球表面 最高溫 Tm ∼ 393K
若取月球平均溫度同 上述估算的地表溫度 278K
則 月表背對太陽的溫度 可估算約 143 K 。
上述估計值 與 參考數據 125 - 375 K 還算接近吧！
想一想！我們藉由簡單的 想法與 物理概念，便可以 估算出上述那麼多的 數量。
以上舉一些例子，希望達到 拋磚引玉的功能，
請你也能 有機會便利用 現有的知識，對未知的 事物做出 合理的估計！
通常 做為一個 決策人員，所最需要的能力便是對於 未知的狀況 做出合理的估算。
然後 做為 下定決策 時的參考。
歡迎批評指教！電子郵件 ： 請按 hwang@phy03.phy.ntnu.edu.tw
作者：國立台灣師範大學 物理系 黃福坤
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