地球、月亮與太陽的大小

地球、月亮與太陽的大小

 


科學的興起 主要在於 人們將所欲探討事物的性質 加以量化,

測量的精密度 也標示著 科學的進步。

凱文(Kelvin)曾說:

" 如果你無法將所探討的 加以測量並用數字表示,表示你對它 瞭解的有限。

如果你能夠加以量化並測量,表示你對它 已經開始有些瞭解"。

我們來回溯一下,古代的人們是 如何估計 地球、月亮與太陽的大小的呢?

以下說明時會列出參考數據,如果你真的有心想 學習,請千萬親自好好算一下!

(你可以坐在駕駛後面觀摩開車 10年,還是不會開車,只有親自學習才能學會)

 


  •  

地球的大小:(地球平均半徑 6.371×106m)

早在西元 前235年(兩千多年前)埃及人便估算了 地球的大小。

當時已經知道 六月二十二日正午時,太陽日正當中。

在 Syene 城市的高牆,正好都沒有影子產生。

但是同時在北方距離約 800公里的 Alexandria 城市的高牆卻仍有一段影子。

測量影子長度與牆高,得知影子與牆頂連線和垂直線的夾角為 7.2°

藉由以上的資訊,估算出 地球的周長約 40,000公里。

你想 是如何估計的呢?下圖是提供給你一些提示呢?

 


  •  

月球的大小:(月球平均半徑 1.74×106m)

由觀測月蝕的情形,如下圖是否可以估算出 月球與地球的 半徑比呢?

因為地球的半徑已知,故可以估算 月球的半徑。

 


地球與月球間的距離:(平均距離 3.85×108m)

如下圖,若是夜晚觀賞月亮時,手上拿著一顆彈珠對準月亮時,

彈珠恰好擋住月亮的外形輪廓,如此你能估算出月球與地球間的距離嗎?

 


太陽的大小:(太陽平均半徑 6.96×108m)

我們眼中看到月球的大小(視角)似乎與太陽的大小差不多!

月球直徑與地球和月球間距離的比值 ~太陽直徑與地球和太陽間距離的比值

1/110

如果我們能先估計 地球和太陽間距離 則也就可以估算 太陽的大小了!

 


( 地球和太陽間平均距離 1.50×1011m )

當 半月時月球與太陽的連線 和 月球與地球的連線 恰成 90°(如下圖)

在同時可看見月球與太陽時,測量月球與太陽連線 和地球與太陽連線的夾角

(由測量地球與月球連線 和地球與太陽連線的夾角推算)

再由 圖中黃色區域內 公式 便可估算地球與太陽間的距離。

 


  •  

太陽的質量 (1.987×1030 kg) 與地球的質量(5.975×1024 kg)

現代 我們由 克卜勒第三運動定律 :

軌道半徑三次方 與 軌道周期的平方 的比值。

如上式,萬有引力 恰好提供 圓周運動所需的向心力。

由地球繞日的軌道半徑與周期,可以估算出 太陽本身的質量。

由月球繞地球的軌道半徑與周期,可以估算出 地球本身的質量。

厲害吧! 你能想出其他 『秤』出太陽或 地球質量 的方法嗎?

當然是 無法用 『天平』 的啦!

當年 卡文迪西 測量出 萬有引力常數 G值 時,

他便宣稱是第一個測出了地球質量的人。

因為由地球表面的重力場強度 g 與地球本身的半徑,藉由萬有引力定律

當已知 萬有引力常數後,便剩下 地球質量一個未知數了!

你如果已經知道月球表面的重力場強度約為地面的 1/6 (1.62 m/s2)

是否可以估算出 月球的質量呢?(7.35×1022 kg)

藉由 地球、月球與太陽的質量與 平均半徑 是否 請你比較一下三者的密度呢?

計算前 先猜一猜 三者密度 大小的順序為何?

也估算一下太陽表面的 重力場強度吧!(參考數值: 274 m/s2)

  •  

其他參考數據:

地球繞日周期: 365 天 5 小時 48 分。

(記得高中時我由此數據推算數千年內 潤年的法則,你不妨也試一下吧!)

地球自轉周期:23時56分4.1秒。

月球繞地球周期 27.3 天,月球自轉周期恰好也是 27.3天(好巧喔!)

太陽繞銀河周期約 200×106年,(自轉周期約 26 天)。

地表溫度 ~ 287K,月表溫度~ 125-375K,太陽表面~ 5.8×103K

地球密度 5.52×103 kg/m3,月球密度 3.33×103 kg/m3,太陽密度 1.41×103 kg/m3

 


  •  

讓我們藉由熱平衡 估算一下地表的溫度:

太陽表面溫度約 5800K,假設其為理想黑體 則 單位面積輻射能 = σTs4

太陽表面總 輻射能 為 σTs4 (4πRs2) ,其中 Rs 為太陽半徑

太陽輻射能向四面八方輻射出去,當抵達地表時 單位面積的輻射能變為

σTs4 (4πRs2)/(4πd2) ,其中 d 為 地球與太陽間 平均距離。

地球表面只有半面面向太陽 ,若地表溫度為 Te,平衡時

地球所吸收總能量 = 地球所輻射總能量

σTs4 (4πRs2)/(4πd2)*πRe2 = σTe4 (4πRe2 )

因此 Te4 = Ts4 ( Rs2/ d2)/4 , 2Rs/ d 為地球上所見太陽的視角。

將數值帶入 可得 Te = 278 K。

(由於地球表面有大氣層,會使大部份太陽的輻射透過,但卻會吸收地表的輻射)

因此會使地球表面的溫度 略高於 上述估計值。

(若是因為某原因 使地表蒙上一層灰塵使得 太陽的輻射穿不透,

但卻又能讓地表輻射能射出去 --地表溫度較低,輻射能相對波長較長,

則 地表的溫度 將更低於上述數值,有人說或許 恐龍就是因此而 滅亡的)

我曾經於去年奧林匹亞國家代表隊的選拔過程中,出過上述問題的詳細計算。

挺有趣的! 進入準決選的高中生幾乎都能完全答出來。你試過了嗎!

月球表面由於沒有大氣層 因此 面對太陽與背對太陽的溫度 相差很大。

若 考慮 面對太陽的表面 ,單位面積吸收太陽的能量 = 單位面積輻射的能量

σTs4 (4πRs2)/(4πd2) = σTm4

則可以估算 月球表面 最高溫 Tm ~ 393K

若取月球平均溫度同 上述估算的地表溫度 278K

則 月表背對太陽的溫度 可估算約 143 K 。

上述估計值 與 參考數據 125 - 375 K 還算接近吧!

 


想一想!我們藉由簡單的 想法與 物理概念,便可以 估算出上述那麼多的 數量。

以上舉一些例子,希望達到 拋磚引玉的功能,

請你也能 有機會便利用 現有的知識,對未知的 事物做出 合理的估計!

通常 做為一個 決策人員,所最需要的能力便是對於 未知的狀況 做出合理的估算。

然後 做為 下定決策 時的參考。

  •